Equations Inéquations et Systèmes (9)
2.2 Equation du secand degré
2.2.1 Définition
Une équation du secand degré à une inconnue
s'écrit sous la forme
ax²+bx+c=0 tels que a; b et c sont des constantes et a≠0.
Le nombre Δ=b²-4ac est le discriminant de l'équation.
Exemple 1
2x²-3x+1=0 est une équation du second degré.
| a = 2 | b = -3 | c = 1 |
Δ=(-3)²-4.2.1=9-8 donc Δ=1.
Exemple 2
-x²+5x-7=0 est une équation du second degré.
| a = -1 | b = 5 | c = -7 |
Δ=5²-4.(-1).(-7)=25-28
donc Δ=-3.
Exemple 3
2x²+20x+50=0 est une équation du second degré.
| a = -2 | b = 20 | c = 50 |
Δ=20²-4.2.50=400-400
donc Δ=0.
2.2.2 Factorisation et Résolution
Soit T(x)=ax²+bx+c tel que a≠0.
et Δ=b²-4ac son discriminant.
1) Si Δ=0 alors
| T(x) = a(x+ | b | )² |
| 2a |
ainsi l'équation ax²+bx+c=0 admet une solution double x1.
| x1= | -b |
| 2a |
2) Si Δ>0 alors
| T(x) = a(x - | -b - √(Δ) | )(x - | -b + √(Δ) | ) |
| 2a | 2a |
donc l'équation ax²+bx+c=0 admet deux solutions différentes.
| x1 = | -b - √(Δ) | x2 = | -b + √(Δ) | |
| 2a | 2a |
et T(x)=a(x-x1)(x-x2).
3) Si Δ<0 alors T(x) ne se factorise pas
et l'équation T(x)=0 n'admet pas de solution dans IR.
2.1.5 Propriétés
Soient a ; b ; c des nombres réels tel que
a≠0 et S l'ensemble des solutions de l'équation
(E): ax²+bx+c=0
(Δ=b²-4ac)
1) Si Δ=0 (E) admet une solution double
| S = { | -b | } |
| 2a |
2) Si Δ>0 alors (E) admet deux solutions différentes.
| S = { | - b - √(Δ) | ; | - b + √(Δ) | } |
| 2a | 2a |
3) Si Δ<0 alors l'équation (E) n'admet aucune solution dans IR
et on écrit S=∅.