تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x) = -x² + 1. بين ان 1 قيمة قصوى للدالة f.

تصحيح

لكل x∈IR لدينا -x²≤0 اذن -x²+1≤1
ومنه فان لكل x∈IR لدينا f(x) ≤ 1
يبقى معرفة هل يوجد عنصر a من I=IR
بحيث f(a)=1 ?
لذلك يكفي حل المعادلة f(x)=3 في المجال I
f(x)=3 يعني -x²+1=1 يعني x²=0 يعني x=0
اذن 1=f(0) وبالتالي 1 قيمة قصوى ل f عند 0.

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x بحيث
f(x)=2x²+4x+5 بين ان 3 مطراف للدالة f على IR.

تصحيح

للتذكير نقول ان b مطراف لدالة f اذا كان قيمة قصوى أو قيمة دنيا
الدالة f حدودية اذن D=IR ليكن x∈IR
f(x)-3=2x²+4x+5-3
=2x²+4x+2=2(x²+2x+1)
= 2(x + 1)²

العدد 2(x+1)² موجب
اذن لكل x∈IR لدينا f(x)≥3
ليس بعد يجب معرفة هل يوجد عنصر a من IR بحيث f(a)=3
f(a)=3 يعني f(a)-3=0
يعني 2(a + 1)²=0
يعني a=-1
اذن 3=f(-1) قيمة دنيا للدالة f ومنه فان 3 مطراف للدالة f.

تمرين 3 tp

لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي

f(x) =	x
	x + 2

1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f.
2) بين ان f تزايدية قطعا على ]-∞;-2[.
وتزايدية قطعا كذلك على ]-2;+∞[ وانشئ جدول تغيراتها.

تصحيح

1) f معرفة يعني x+2≠0 يعني x≠-2
اذن D=IR\{-2}=]-∞;-2[∪]-2;+∞[.

2) نبين أن f تزايدية قطعا على ]-∞;-2[
ليكن x من y من ]-∞;-2[ بحيث x<y
نبين اذن f(x)<f(y)
من أجل ذلك ندرس اشارة f(x)-f(y)

f(x) - f(y) =	x	-	y
	x + 2		y + 2

=	x(y + 2) - y(x + 2)	=	2(x - y)
	(x + 2)(y + 2)		(x + 2)(y + 2)

لدينا x<y أي x-y<0
اذن 2(x-y)<0
ولدينا x و y من ]-∞;-2[
أي (x<-2) و (y<-2)
أي (x+2<0) و (y+2<0)
اذن (x+2)(y+2)>0

{	2(x - y)	< 0
	(x + 2)(y + 2)	> 0

ومنه فان f(x)-f(y)<0 أي f(x)<f(y)
وهذا يعني أن الدالة f تزايدية قطعا على المجال ]-∞;-2[

ليكن x و y من ]-2;+∞[ بحيث x<y
نبين اذن f(x)<f(y)
لدينا x<y أي x-y<0 اذن 2(x-y)<0
ولدينا x و y من ]-2;+∞[
أي (x>-2) و (y>-2)
أي (x+2>0) و (y+2>0)
اذن (x+2)(y+2)>0

ومنه فان f(x)-f(y)<0 أي f(x)<f(y)
اذن f تزايدية قطعا على ]-2;+∞[.

جدول التغيرات

x		-∞		-2		+∞
f			↗		↗