تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية بحيث

f(x) =	1
	x

1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f.
2) ادرس رتابة الدالة f على المجالين
]-∞;0[ و ]0;+∞[.
3) انشئ جدول تغيرات الدالة f.

تصحيح

1) f معرفة يعني x≠0
اذن D=IR*=]-∞;0[∪]0;+∞[.
2) (a) ندرس رتابة f على المجال I=]0;+∞[
ليكن x و y من I بحيث x < y
بما ان x و y غير منعدمان ولهما نفس الاشارة (موجبان معا) فان x < y يكافئ

1	>	1
x		y

يعني أن f(x) > f(y)
وهذا يعني أن الدالة f تناقصية قطعا على المجال I.

(b) ندرس رتابة f على المجال J=]-∞;0[
ليكن x و y من J بحيث x < y
بما ان x و y غير منعدمان ولهما نفس الاشارة (سالبان معا) فان x < y يكافئ

1	>	1
x		y

يعني أن f(x)>f(y) وهذا يعني أن الدالة f تناقصية قطعا على المجال J.
3) جدول تغيرات f

x		-∞		0		+∞
f			↘		↘

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x بحيث
f(x)=-2x²+3.
1) ادرس زوجية الدالة f.
2) ادرس رتابة f على IR⁺ ثم على IR^-.
3) انشئ جدول تغيرات f.
4) استنتج مطرافا للدالة f.

تصحيح

1) f حدودية اذن D=IR
ومنه فان لكل x∈IR لدينا (-x)∈IR.

ليكن x∈IR لدينا f(-x)=-2(-x)²+3=-2x²+3=f(x)
وبالتالي f دالة زوجية.
2) ليكن x و y من IR⁺ حيث x<y
اذن x²<y² يعني -2x²>-2y²
يعني -2x²+3>-2y²+3 يعني f(x)>f(y)
وهذا يعني أن f تناقصية قطعا على IR⁺
ليكن x و y من IR^- حيث x<y
اذن x²>y² يعني -2x²<-2y²
يعني -2x²+3<-2y²+3 يعني f(x)<f(y)
وهذا يعني أن f تزايدية قطعا على IR^-.

للتذكير يمكن استعمال خاصية الزوجية والرتابة
الدالة f تناقصية قطعا على IR⁺ وبما ان f زوجية فانها تزايدية قطعا على IR^-.
3) جدول تغيرات f

x		-∞		0		+∞
f			↗	0	↘

4) لدينا f تزايدية قطعا على ]-∞;0] وتناقصية قطعا على [0;+∞[
اذن f(0)=3 قيمة قصوى للدالة f على IR اذن 3 مطراف للدالة f عند 0.

تمرين 3 tp

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x بحيث
f(x)=x²+3.
بين ان 3 قيمة دنيا للدالة f.

تصحيح

لكل x∈IR لدينا x²≥0 اذن x²+3≥3
ومنه فان لكل x∈IR لدينا f(x)≥3
هذه المتفاوتة غير كافية للقول أن 3 قيمة دنيا للدالة f لانه ينبغي معرفة ان كان العدد 1 صورة لعدد بواسطة الدالة f

وبعبارة أخرى يبقى معرفة هل يوجد عنصر a من I=IR بحيث f(a)=3
لذلك يكفي حل المعادلة f(x)=3 في المجال I
f(x)=3 يعني x²+3=3 يعني x²=0 يعني x=0
اذن 3=f(0) وبالتالي 3 قيمة دنيا ل f عند 0.