Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)= 4x-x².
1) Etudier la monotonie de f
sur ]-∞;2] et sur [2;+∞[.
2) Tracer le tableau de variations de f.
3) Déduire un extremum de f.
4) Soit ABCD un rectangle tels que
AB=x et AD=4-x.
Déterminer x de sort que la surface du rectangle soit maximale.

Correction

1) f est un polynôme donc D=IR.
Soient x; y ∈IR tels que x<y
f(x)-f(y)=4x-x²-(4y-y²)
=-x²+y²+4x-4y
=-(x²-y²)+4(x-y)
=-(x-y)(x+y)+4(x-y)
=-(x-y)(x+y-4).

On a x<y ou encore x-y<0 donc -(x-y)>0.
Il reste à étudier le signe de x+y-4.

1) Monotonie de f sur I=]-∞;2]
x; y∈I signifie x≤2 et y≤2
donc x+y<4 (l'inégalité est stricte car x et y sont différents donc ne peuvent pas prendre la même valeur 2 en même temps).
Signifie x+y-4<0.

Ainsi f(x)-f(y)<0 et cela signifie que f est strictement
croissante sur I=]-∞;2].
2) Monotonie de f sur J=[2;+∞[
x; y∈I signifie x≥2 et y≥2
donc x+y>4 (l'inégalité est stricte car x et y sont différents donc ne peuvent pas prendre la même valeur 2 en même temps)
signifie x+y-4>0.

Ainsi f(x)-f(y)>0 et cela signifie que f est strictement
décroissante sur J=[2;+∞[.
2) Tableau de variations: on a f(2)=4.

3) f est strictement croissante
sur ]-∞;2] et strictement
décroissante sur [2;+∞[ donc f admet une valeur maximale 4 au point 2
ainsi 4=f(2) est un extremum de la fonction f.

4) ABCD est un rectangle.
La surface du rectangle S(x)=x(4-x)
ou encore S(x)=4x-x².

On considère donc la fonction f
S est maximale au point a tel que f(a) est une valeur maximale.
D'après la question précédente 4 est une valeur maximale de f au point a=2
et donc S est maximale si x=2
de plus AB=2 et AD=4-2=2 alors ABCD est un carré de coté 2.