1- Domaine de définition d'une fonction

1.1 Fonction numérique

1.1.1 Introduction

Chaque étudiant a son propre numéro de série et après chaque évaluation, il obtient une note. Il y'a donc une relation entre les numéros de série et les notes
cette relation est une fonction. Notons qu'il se trouve qu'un étudiant ne reçoit aucune note

1.1.2 Définition

Soient E et F deux ensembles non vides inclus dans IR.
Une relation qui associe chaque nombre x de E à un seul nombre au plus dans F est appelée fonction numérique définie de E vers F et est notée f ou (g ou h ..). et l'élément associe à x s'il existe est appelé image de x par f et est notée f(x).

E est appelé ensemble de départ.
et F est appellé ensemble d'arrivé.

x est appelé la variable réel de la fonction f.
Si x admet une image y=f(x) alors x est appelé antécédent de y.
L'écriture f: x↦f(x) définit la fonction f.

Exemple 1
Soit la fonction f qui associe chaque nombre réel à son carré.
1) Déterminer l'expression f(x).
2) Calculer l'image de chacun des nombres suivants -5; 0 et 5 par la fonction f.

Correction
1) Soit x∈IR.
Le carré de x est x² donc f(x)=x².

2) On pose x=-5 donc f(-5)=(-5)²=25
ainsi 25 est l'image de -5 par f.
On pose x=0 donc f(0)=0²=0
alors 0 est l'image de 0 par f.
On pose x=5 donc f(5)=5²=25
alors 25 est l'image de 5 par f.

Exemple 2
Soit h une fonction numérique de la variable réel x
définie par h(x)=x²-2x
1) Calculer h(-2); h(1); h(2) et h(5).
2) Déterminer les antécédent de 0 par la fonction h.

Correction
1) h(-2)=(-2)²-2(-2)=4+4=8
donc h(-2)= 8.
h(1)=1²-2.1=1-2=-1
donc h(1)=-1.
h(2)=2²-2.2=4-4=0
donc h(2)=0.

h(5)=5²-2.5=25-10=15
donc h(5)=15.
2) On désigne par x à l'antécédent de 0 par f s'il existent.
cela revient à résoudre l'équation h(x)=0.
h(x)=0 signifie x²-2x=0
signifie x(x-2)=0
signifie x=0 ou x-2=0
signifie x=0 ou x=2
ainsi 0 admet deux antécédents 0 et 2.