1.4 Egalité de deux fonctions numériques

1.4.1 Activité

Soient f et g deux fonctions numériques définies par
f(x)=x²-4
et g(x)=(x-2)(x+2).
1) Déterminer D_f.
2) Déterminer D_g.
3) Comparer f(x) et g(x).

Correction
1) f est une fonction polynôme donc D_f=IR.

2) g est le produit de deux polynôme donc D_g=IR.
3) Soit x∈IR.
g(x)=(x-2)(x+2) est une identité remarquable
donc g(x)=x²-2²=x²-4=f(x).

On a donc D_f=D_g
et pour tout (x∈IR): f(x)=g(x).
On dit alors que f et g sont égales et on écrit f=g.

1.4.2 Définition

Soient f et g deux fonctions numériques et D_f et D_g respéctivement leurs ensembles de définitions.
On dit que f et g sont égales et on écrit f=g si les deux conditions suivantes sont vérifiées
1) D_f= D_g.
2) Pour tout x∈D on a f(x)=g(x).
(D=D_f=D_g).

Exemple

Soient f et g deux fonctions numériques définies par
f(x)=(x+1)²+x²+2x+2
et g(x)=2(x+1)²+1.

Comparer f et g ?

Correction

(a) f(x)=(x+1)²+x²+2x+2
=(x²+2x+1)+x²+2x+2
=2x²+4x+3
donc f(x)=2x²+4x+3.
f est une fonction polynôme donc D_f=IR.
(b) g(x)=2(x+1)²+1
=2(x²+2x+1)+1
=2x²+4x+2+1
=2x²4x+3.

Donc g(x)=2x²+4x+3.
g est une fonction polynôme donc D_g.
On a donc
D_f=D_g et g(x)=g(x) pour tout x∈IR
alors f=g.

Exercice 1 tp

Soient f une fonction numérique définie par f(x)=2x+4 et g une fonction numérique définie par

g(x) =	2x²-8
	x-2

Comparer f et g ?

Correction
1) f est une fonction polynôme
donc D_f=IR.

g est une fonction rationnelle
donc g est définie si x-2≠0
ou encore si x≠2
donc D_g=IR\{2}.
2) La condition D_f=D_g n'est pas vérifiée
alors f≠g.