2.2 Fonction paire

2.2.1 Activités

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=x².
1) Déterminer D_f l'ensemble de définition de f.
2) Vérifier que D_f est un domaine centré.
3) Comparer f(x) et f(-x).

) L'ensemble IR est centré en 0 parseque l'opposé d'un nombre réel est également un nombre réel.

Correction
1) f est un polynôme donc D_f=IR.
2) L'ensemble IR est centré en 0
donc pour tout x∈D_f on a (-x)∈D_f.
Ainsi D_f est un domaine centré en 0.
3) Soit x∈IR.
f(-x)=(-x)²=x²
donc f(-x)=f(x)
on dit alors que f est une fonction paire.

2.1.2 Définition

Soient f une fonction numérique de la variable réel x et D son domaine de définition.
On dit que f est une fonction paire si les deux conditions suivantes sont vérifiées
1) Pour tout x∈D on a (-x) ∈D.
2) Pour tout x∈D on a f(-x)=f(x).

2.1.3 Interprétation graphique

Soit f une fonction paire et C_f sa courbe représentative dans un repère (O;i^→;j^→).
Pour tout x∈IR on a f(-x)=f(x) alors les deux points
M(x;f(x)) et M'(-x;f(x)) sont symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

2.1.4 Propriété

La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique de la variable réel x définie par

f(x) =	1
	x²-2

1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Montrer que f est une fonction paire.

Correction

1) f est définie si son dénominateur n'est pas nul.
x²-2=0 signifie que x²=2
signifie (x=√2 ou x=-√2)
ainsi D=IR\{-√2;√2}.
2) On montre que f est paire.
L'ensemble IR est centré en 0
donc IR\{-√2;√2} est centré en 0.
Ainsi pour tout x∈D on a (-x)∈D.

Soit x∈D.
On calcule f(-x) en remplaçant x par -x.

f(-x) =	1
	(-x)²-2
=	1
	x²-2

donc f(-x)=f(x) et par conséquent f est paire.