2.4 المتطابقات الهامة

2.4.1 خاصيات

ليكن a و b عددين حقيقيين

1)	(a+b)² = a²+ 2ab + b²
2)	(a-b)² = a² -2ab + b²
3)	a²-b² = (a-b)×(a+b)
4)	(a³ - b³) = (a-b)(a² +ab + b²)
5)	(a³ + b³) = (a+b)(a² - ab + b²)

(1) و (3) برهان
1) (a+b)²=(a+b)×(a+b)= a²+ab+ba+b²
ab=ba لدينا اذن (a+b)²=a²+2ab+b².

3) -ab+ab = 0
اذن a²-b² = a²-ab+ab-b²
= a(a-b)+b(a-b)
= (a-b)(a+b)
اذن a²-b²=(a-b)(a+b).

2.4.2 النشر والتعميل

تعريف
تعميل تعبير (أو حدودية) هو كتابته على شكل جذاء عوامل درجتها أصغر ما يمكن.

امثلة
1) نعمل الحدودية x²-4.
x²-4=x²-2²=(x-2)(x+2).
اذن x²-4=(x-2)(x+2).

2) نعمل الحدودية x²-4x+3.
x²-4x+3=x²-x-3x+3=(x²-x)-3(x-1)
=x(x-1)-3(x-1)
=(x-1)(x-3)
اذن x²-4x+3=(x-1)(x-3).
3) نعمل الحدودية x³-27.
x³-27=x³-3³=(x-3)(x²+3x+9)
اذن x³-27=(x-3)(x²+3x+9).

تمرين 1 tp

أنشر التعبير التالي
A=(1+2x)².

تصحيح

A=(1+2x)²
=1²+2.(2x)+(2x)²
=1+4x+4x²
اذن A=4x²+4x+1.

تمرين 2 tp

أنشر التعبير التالي
A=(2-5x)².

تصحيح

A=(2-5x)²
=2²-2.2.(5x)+(5x)²
=4-20x+25x²
اذن A=25x²-20x+4.

تمرين 3 tp

ليكن a∈IR بحيث a²=5
احسب

A =	1	-	1
	a-1		a+1

تصحيح

أولا نوحد المقام
المقام المشترك هو (a-1)(a+1).

A =	(a+1) - (a-1)	=	a+1 - a+1
	(a-1)(a+1)		(a-1)(a+1)

=	2
	(a-1)(a+1)

ثانيا نستعمل المتطابقة التالية
(a-1)(a+1)=a²-1=5-1=4 نحصل اذن على

A =	2	=	1
	4		2