2.4 Identités remarquables

2.4.1 Propriétés

Soient a et b deux nombres réels

1)	(a+b)² =	a²+ 2ab + b²
2)	(a-b)² =	a² -2ab + b²
3)	a²-b² =	(a-b)×(a+b)
4)	(a³ - b³) =	(a-b)(a² +ab + b²)
5)	(a³ + b³) =	(a+b)(a² - ab + b²)

Démonstration
1) On a (a+b)²=(a+b)×(a+b)
= a²+ab+ba+b²
on sait ab=ba
donc (a+b)²= a²+2ab+b².
3) -ab+ab=0 donc a²-b²=a²-ab+ab-b²
ou encore a²-b²=a(a-b)+b(a-b)
ainsi a²-b²=(a-b)(a+b).

2.4.2 Développement et factorisation

Définition factoriser une expression c'est passer de la somme des termes au produit de facteurs de plus petit degré possible.

Exemples
1) On factorise l'expression x²-2
x²-4=x²-2²=(x-2)(x+2)
donc x²-4=(x-2)(x+2).

2) On factorise l'expression x²-4x+3
x²-4x+3=x²-x-3x+3=(x²-x)-3(x-1)
=x(x-1)-3(x-1)
=(x-1)(x-3).
donc x²-4x+3=(x-1)(x-3).
3) On factorise l'expression x³-27
x³-27=x³-3³
=(x-3)(x²+3x+9)
donc x³-27=(x-3)(x²+3x+9).

Exercice 1 tp

Dévellopper l'expression suivante
A=(1+2x)².

Correction

A=(1+2x)²
=1²+2.(2x)+(2x)²
=1+4x+4x²
donc A=4x²+4x+1.

Exercice 2 tp

Dévellopper l'expression suivante
A=(2-5x)².

Correction

A=(2-5x)²
=2²-2.2.(5x)+(5x)²
=4-20x+25x²
donc A=25x²-20x+4.

Exercice 3 tp

Soit a∈IR tel que a²=5
Calculer

A =	1	-	1
	a-1		a+1

Correction

D'abord on réduit A au même dénominateur
Le dénominateur commun est (a-1)(a+1).

A =	(a+1) - (a-1)	=	a+1 - a+1
	(a-1)(a+1)		(a-1)(a+1)

=	2
	(a-1)(a+1)

Puis on utilise l'identité remarquable
(a-1)(a+1)=a²-1=5-1=4 on obtient

A =	2	=	1
	4		2