Mathématiques du secondaire qualifiant

Opérations dans IR et propriétés (8)

3- Proportionnalité

3.1 Proportionnalité (normal)

3.1.1 Exemple

On a

24 = 3 12 = 3
8 4

donc

24 = 12 = 3
8 4

On dit que les nombres 24 ; 8 ; 12 et 4 sont proportionnels
ou encore 24 et 12 sont proportionnels avec 8 et 4.

3.1.2 Définition

On dit que les nombres réels non nuls a; b; c et d dans cet ordre, sont proportiennels si

a = c ou ad=bc
b d

Exemples
1) 15 ; 20 ; 7,5 et 10 sont proportiennels car 15.10=20.7,5.
2) 24 ; 8 ; 30 et 10 sont proportiennels car 24.10=8.30.

3.2 Proportionnalité inverse

3.2.1 Définition

On dit que les nombres réels non nuls a; b; c et d dans cet ordre, sont inversement proportiennels si

a = c
1 1
b d
ou ab = cd
3.2.2 Exemples

1) 3 ; 15 ; 9 et 5 sont inversement proportiennels car 3.15 = 9.5
2) 10 ; 7; 5 et 14 sont inversement proportiennels car 10.7 = 5.14

Remarque
Equation d'une droite passant par l'origine et de coefficient directeur m est de la forme y=mx.

Que peut on dire des coordonnées de deux points M(a;b) et N(c;d) appartiennent à la même droite (D) passat par l'origine (ie (D): y=mx) ?

Exemple
Soit (D): y=2x

On vérifie facilement que E(2;4) et F(2,5;5) appartiennent à (D).
Puisque 2.5=4.(2,5)=10 alors 4 et 5 sont proportiennels avec 2 et 2,5.

Résultat
Les ordonnées des points d'une droite (D) passant par l'origine sont proportiennels avec des abscisses.

En d'autre terme si A(a;b) et B(c;d) appartiennent à une droite d'équation y=mx alors

b = d
a c

Exemple On considère la droite (D): y=4x les points E(3;12) et F(2; ) appartiennent à (D)
donc 12 et 8 sont proportiennels avec 3 et 2.

12 = 8
3 2