1- Ordre et opérations

1.1 Activité

Comparer les nombres a et b dans chacun des cas suivants
1) a=12,15 et b=12.149.

3) a=√48 et b= 7

Correction
Pour comparer deux nombres on peut étudier le signe de leur différence.
1) 12,15-12,149=0,001 puisque 0,001 est un nombre positif donc 12,15>12,149
2) Unissons les dénominateurs de a et b.

donc a<b
3) Pour comparer a=√48 et b=7il suffit de comparer leurs carrés.
a²=(√48)²=48 et 7²=49
puisque 49>48 alors b>a.
4) Pour cette question on remarque que

car 3+5=8 et √8=2√2
ainsi a=b.

1.2 Définitions

Soient x et y deux nombres réels.
x≤y signifie que y-x∈IR⁺.
x≥y signifie que x-y∈IR⁺.
x<y signifie que y-x∈IR^+*.
x>y signifie que x-y∈IR^+*.

1.3 Propriétés

1.3.1 Propriétés de la somme

Soient x; y; z et α des nombres réels.
1) x≤y signifie x+z≤y+z.
2) Si x≤y et y≤α alors x≤α.
3) Si x≤y et z≤α alors x+z≤y+α.

Exemples
1) √7<√10 équivaut à 3+√7<3+√10.
2) 2<4 et √3<3 donc 2+√3<4+3
ou encore 2+√3<7.
3) 3<10 et 10<13 donc 3<13.

1.3.2 Propriétés du produit

1) Si x≤y et α<0 alors α.x ≥α.y
2) Si x≤y et α>0 alors α.x≤α.y.
3) Soient x; y; z et α des réels positifs.
Si x≤y et z≤α alors z.x≤αy.

Exemples
1) 4≤5 équivaut à 2.4≤ 2.5 car 2>0
2) √2<3 équivaut à -5.√2 > -5.3
ou encore -5.√2>-15 car -5<0.
3) 7≤10 et 2≤3 donc 7.2≤10.3
ou encore 14≤30.

Rappel
(a) Soient x et y deux nombres positifs.
x≥y signifie x²≥y².
(b) Soient x et y deux nombres négatifs.
x≥y signifie x²≤y².
(c) Soient x et y deux nombres non nuls et de même signe.

Exercice 1 tp

Comparer a et b dans chacun des cas suivants

2) a=3√5 et b=5√3.
3) a=2+3√5 et b=3+2√5.