2- Droite numérique et Intervalles

2.1 La droite numérique

2.1.1 Activités

1) Placer les points A ; B et C sur une droite graduée (OI) d'abscisses respectives 4 ; -5 et -2.
2) Déterminer un segment qui contient le point C et ne contient pas le point A.

3) Calculer les distances OA ; OB ; OC ; AB ; AC et BC.

Notons que la distance de deux points sur une droite graduée égale à la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite.

2.1.2 Définition

Soit (D) un axe gradué.
Chaque point M de l'axe (D) représente un nombre réel x
et réciproquement chaque nombre réel x est l'abscisse d'un point M de l'axe (D).
On dit alors ℝ est la droite numérique.

2.2 Les intervalles

2.2.1 Activités

1) Il y'a deux mitons de jeux dans un match de football.
La durée du temps de chaque miton est de 45mn plus 15mn de repot entre les deux mitons.
Il y'a donc trois périodes de temps pour un match :)

La première commence de la mn 0 à la mn 45
cette période de temps est appelé intervalle borné et est noté ]0;45].
2) Il y'a une durée de conservation pour la consommation d'un aliment
cette période de temps détermine un intervalle de temps.

2.2.2 Intervalle borné

Soient a et b deux nombres réels tels que a<b.
L'ensemble de tous les nombres réels qui sont compris entre a et b est appelé intervalle borné d'extrémités a et b et il existe quatre types
1) [a;b] est un intervalle fermé.
2) [a;b[ est un intervalle borné semi ouvert à droite.
3) ]a;b] est un intervalle semi-ouvert à gauche.
4) ]a;b[ est un intervalle ouvert borné.

2.2.3 Intervalle non borné

1) Soit a un nombre réel.
L'ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à a est un intervalle non borné
noté [a;+∞[={x∈IR/x≥a}.

Exemple: I=[3;+∞[
-8∉I ; 0∉I ; √(7)∉I ; 3∈I ..

2) Soit a un nombre réel. L'ensemble des nombres réels inférieurs ou égaux à a est un intervalle non borné.
noté ]-∞;a]={x∈IR/ x≤a}.

Exemple I=]-∞;5]
0∈I; -18∈I ; √(30)∉I ..

3) L'ensemble ℝ est un intervalle non borné ℝ=]-∞;+∞[.

Remarques
Le symbole ∞ signifie l'infini et \ signifie à l'exception.
ℝ⁺=[0;+∞[ ; ℝ^-=]-∞;0] et ℝ^*=ℝ\{0}.
∅={} est l'ensemble vide (ne contient aucun élément) :)