(5) IR الترتيب في المجموعة
3- القيمة المطلقة
3.1 تعاريف
3.1.1 تعريف 1
ليكن (OI) محورا.
x عدد حقيقي و A صورته في المحور (OI).
المسافة OA تسمى القيمة المطلقة ل x ونكتب |x|=OA.
ملاحظة القيمة المطلقة لعدد حقيقي x موجبة (|x|≥0).
3.1.2 تعريف 2
ليكن x عددا حقيقيا.
|x|=x اذا كان x≥0.
|x|=-x اذا كان x≤0.
أمثلة
|-8|=8 ; |0|=0 ; |22|=22
|1-√2|=-(1-√2)
لان 1-√2
سالب.
3.2 خاصيات
3.2.1 خاصية 1
a و b عددان حقيقيان و n عدد نسبي.
| |a| = |-a| | |a×b|=|a|×|b| | |an|=|a|n |
3.2.2 خاصيات 2
ليكن x و y عددين حقيقيين و a∈IR+
1) |x|=a يعني ان x=a او x=-a .
2) |x|=|y| يعني ان x=y او x=-y .
أمثلة
1) |x|=7 يعني (x=7) او (x=-7) .
2) |2x+4|=24
يعني
(2x+4=24) أو (2x+4=-24).
يعني
(2x=24-4) أو (2x=-24-4).
يعني
(x=10 أو
x=-14).
3) |2x-1|=|x+4|
يعني
(2x-1=x+4) أو (2x-1=-(x+4)).
يعني (2x-1-x-4=0) أو (2x-1+x+4=0)
يعني (x-5=0) أو (3x+3=0)
يعني (x=5 أو x=-1).
3.2.3 خاصية 3
ليكن a∈IR لدينا √a2=|a|.
مثال√(-2)²=|-2|=2 و √(-2)²≠(-2).
3.2.3 خاصية 4
ليكن a و b عددين حقيقيين و b≠0.
| | | 1 | |= | 1 | | | x | |= | |a| | |
| b | |b| | b | |b| |
أمثلة
| | | 1 | |= | 1 | (1 |
| 2-√(5) | | 2-√(5) | |
√(5)> 2 لان 5>2²
اذن |2-√(5)|=-(2-√(5)) =-2+√(5)
ومنه فان
| | | 1 | |= | 1 |
| 2-√(5) | - 2 + √(5) |
| | | √(2) - 1 | |= | | √(2) - 1 | | (2 |
| √(2) + 1 | | √(2) + 1| |
√(2)>1 اذن |√(2)-1|=√(2)-1
ولدينا √(2)+1>0 اذن
| | | √(2) - 1 | |= | √(2) - 1 |
| √(2) + 1 | √(2) + 1 |
3.2.5 خاصيات 5
ليكن x عددا حقيقيا و a عددا حقيقيا موجبا قطعا.
1) |x|≤a
يعني
-a≤x≤a
يعني
x∈[-a;a].
2) |x|<a
يعني
-a<x<a
يعني
x∈]-a;a[.
3) |x|≥a
يعني
(x≤-a) أو (x≥a)
يعني
x∈]-∞;-a]∪[a;+∞[.
4) |x|>a
يعني
(x<-a) أو (x>a)
يعني
x∈]-∞;-a[∪]a;+∞[.
أمثلة
1) |x|≤1 يعني -1≤x≤1
يعني x∈|-1;1].
2) |x|<√(2) يعني -√(2)<x<√(2)
يعني x∈]-√(2);√(2)[.
3) x|≥2 يعني (x≤-2 أو x≥2)
يعني x∈]-∞;-2]∪[2;+∞[.
4) |x|>0,3 يعني (x<-0,3 أو x>0,3)
يعني x∈]-∞;-0,3[∪]0,3;+∞[.