3- Valeur absolue

3.1 Définitions

3.1.1 Définition 1

Soit (OI) un axe.
On considère un nombre réel x et son image A dans l'axe (OI).
La distance OA est appelée valeur absolue de x et est notée |x|=OA.

Remarque
La valeur absolue d'un nombre réel x est positive (|x|≥0).

3.1.2 Définition 2

Soit x un nombre réel.
|x|=x si x≥0.
|x|=-x si x≤0.

Exemples
|-8|=8 ; |0|=0 ; |22|=22
|1 - √2|=-(1-√2) car 1-√2 est négatif.

3.2 Propriétés

3.2.1 Propriété 1

Soient a et b deux réels et n un entier relatif.

|a| = |-a|

|a×b|=|a|×|b|

|an|=|a|n

3.2.2 Propriétés 2

Soient x et y deux nombres réels et a un nombre réel strictement postif.
1) |x|=a signifie (x=a) ou (x=-a).
2) |x|=|y| signifie x=y ou x=-y.

Exemples
1) |x|=7 signifie (x=7 ou x=-7).
2) |2x+4|=24 signifie( 2x+4=24 ou 2x+4=-24)
signifie (2x=24-4 ou 2x=-24-4)
signifie (x=10 ou x=-14).
3) |2x-1|=|x+4| signifie
(2x-1=x+4 ou 2x-1=-(x+4)).
signifie (2x-1-x-4=0 ou 2x-1+x+4=0)
signifie (x-5=0 ou 3x+3=0)
signifie x=5 ou x=-1.

3.2.3 Propriété 3

Soit a∈IR alors √a²=|a|.

Exemple √(-2)²=|-2|=2 et √(-2)²≠(-2).

3.2.4 Propriété 4

Soient a et b deux nombres réels tel que b≠0.

|	1	|=	1	et |	a	|=	| a |
	b		| b |		b		| b |

Exemples

1) |	1	|=	1
	2-√(5)		| 2-√(5) |

√(5)>2 car 5>2²
donc |2-√(5)|=-(2-√(5))=-2+√(5) ainsi

|	1	| =	1
	2-√(5)		√(5) - 2

2) |	√(2) - 1	|=	| √(2) - 1 |
	√(2) + 1		| √(2) + 1|

√(2)>1 donc |√(2) - 1|=√(2) - 1
et on a √(2) + 1>0 alors

|	√(2) - 1	|=	√(2) - 1
	√(2) + 1		√(2) + 1

3.2.5 Propriétés 5

Soient x un nombre réel et a un nombre réel strictement postif.
1) |x|≤a signifie -a≤x≤a
signifie x∈[-a;a].
2) |x|<a signifie -a<x<a
signifie x∈]-a;a[.
3) |x|≥a signifie (x≤-a) ou (x≥a)
signifie x∈]-∞;-a]∪[a;+∞[.
4) |x|>a signifie (x<-a) ou (x>a)
signifie x∈]-∞;-a[∪]a;+∞[.

Exemples
1) |x|≤1 signifie -1≤x≤1
signifie x∈|-1;1].
2) |x|<√(2) signifie -√(2)<x<√(2)
signifie x∈]-√(2);√(2)[.
3) x|≥2 signifie (x≤-2 ou x≥2)
signifie x∈]-∞;-2]∪[2;+∞[.
4) |x|>0,3 signifie (x<-0,3 ou x>0,3)
signifie x∈]-∞;-0,3[∪]0,3;+∞[.