Le repère dans le plan (3)
2- Coordonnées du vecteur EF→ et la distance
2.1 Coordonnées du vecteur EF→
2.1.1 Propriété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère dans ℙ deux points E(a;b) et F(a';b').
EF→=(a'-a)i→+(b'-b)j→
et on écrit EF→(a'-a;b'-b).
Démonstration
En utilisant la relation de chasles
on obtient
EF→=EO→+OF→ =OF→-OE→
donc EF→=(a'-a)i→+(b'-b)j→.
2.1.2 Exemple
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère dans ℙ trois points E(2;3); F(4;8) et G(-2;5).
Déterminer EF→; EG→ et GF→.
Correction
EF→(4-2;8-3) donc EF→(2;5)
EG→(-2-2;5-3) donc EG→(-4;2)
et on a GF→(4-(-2);8-5) donc EF→(8;3).
2.1.3 Coordonnées du milieu d'un segment
Propriété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). I(xi;yi) est le milieu du segment [EF] tels que E(a;b) et F(a';b').
signifie
| xi = | a+a' | yi = | b+b' | |
| 2 | 2 |
| et on écrit I( | a+a' | ; | b+b' | ) |
| 2 | 2 |
Exemple 1
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère dans ℙ deux points E(3;5) et F(-1;3).
On vérifie que I(1;4) est le milieu du segment [EF].
| xi = | 3+(-1) | yi = | 5+3 | |
| 2 | 2 |
donc xi=1 et yi=4 ainsi I(1;3) est le milieu du segment [EF].
Exemple 2
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère dans ℙ deux points E(3;5) et F(-7;-5).
On vérifie que J(-2;0) est milieu du segment [EF].
| xj = | 3+(-7) | yj = | 5+(-5) | |
| 2 | 2 |
donc xj=-2 et yj=0 ainsi J(-2;0) est le milieu du segment [EG].
2.2 Distance de deux points
2.2.1 Propriété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère dans ℙ deux points E(a;b) et F(a';b'). La distance
de E à F
notée EF est un nombre positif
tel que EF=√((a'-a)²+(b'-b)²).
2.2.2 Exemple
On considère dans le plan ℙ deux points A(2;1) et B(5;3).
AB=√((5-2)²+(3-1)²)=√(3²+2²)
donc AB=√(13).
Exercice 1 tp
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère dans ℙ trois points A(3;-1) ; B(1;1) et C(5;-3).
1) Vérifier que AB=2√2.
2) Montrer que I(2;0) est le milieu du segment [AB].
3) Montrer que ABC est un triangle isocèle.
4) Déterminer J le milieu du segment [BC] puis calculer AJ.