1.3 Opérations sur les vecteurs

1.3.1 Propriétés 1

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O;i^→;j^→).
Soient u^→(x;y) et v^→(x';y') deux vecteurs.
1) u^→+v^→=(x+x')i^→+(y+y')j^→
et on écrit u^→+v^→(x+x';y+y').
2) u^→-v^→=(x-x')i^→+(y-y')j^→
et on écrit u^→-v^→(x-x';y-y').

1.3.2 Propriétés 2

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O;i^→;j^→).
Soient u^→(x;y) et v^→(x';y') deux vecteurs et k∈IR.
1) ku^→=(kx)i^→+(ky)j^→
et on écrit ku^→(kx;ky).
2) ku^→+tv^→)=(kx+tx')i^→+(ky+ty')j^→
et on écrit ku^→+tv^→)(kx+tx';ky+ty').

Exemple
Soient u^→(3;2) et v^→(-2;5) deux vecteurs.
Déterminer
u^→+v^→ et 4u^→-v^→.

Correction
1) u^→+v^→(3+(-2);2+5)
donc u^→+v^→(1;7).
2) 4u^→(4.3;4.2)
donc 4u^→(12;8)

On a donc 4u^→-v^→(12-(-2);8-5)
ainsi 4u^→-v^→(14;3).

Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
Soient u^→(4;-2) et v^→(3;1) deux vecteurs.
Déterminer
2u^→-3v^→ et -5(-4u^→+v^→).