Exercice 1 tp

Tester si 317 est un nombre premier.

Correction

On applique la propriété (crible d'Eratosthène)
(a) On calcule √(317)=17,804..
(b) Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 17 sont 2 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ;
(c) On vérifie si l'un d'eux divise 317
2∤317 ; 3∤317 ; 5∤317 ; 7∤317 ; 11∤317 ; 13∤317 ; 17∤317
donc 317 est un nombre premier.

Exercice 2 tp

Tester si 417 est un nombre premier.

Correction

(a) On a √(437)=20,904..
(b) Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 20 sont 2 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19.
(c) On vérifie si l'un d'eux divise 437.
2∤437 ; 3∤437 ; 5∤437 ; 7∤437 ; 11∤437 ; 13∤437 ; 17∤437
19|437 car 437÷19=23
donc 317 n'est pas un nombre premier.

Exercice 3 tp

Déterminer les diviseurs de 140.

Correction

On a √(140)=11,83...
donc les diviseurs de 140 inférieurs à 11 sont 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 et 10.
140=1.140=2.70=4.35=5.28=7.20=10.14
les diviseurs de 140 sont donc

1	2	4	5
7	10	14	20
28	35	70	140

Exercice 4 tp

Déterminer les diviseurs de 525.

Correction

On a √(585)=22,91...
donc les diviseurs de 525 inférieurs ou égals à 22 sont 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 15 et 2.
525=1.525=3.175=5.105=7.75=15.35=21.25
les diviseurs de 525 sont donc

1	3	5	7
15	21	25	35
75	105	175	525

Exercice 5 tp

Soient n et m deux entiers naturels.
1) Déterminer les diviseurs de 15 et déduire les valeurs de n et m tel que (n+3)(m+2)=15.
2) Déterminer n et m tels que nm+n+m=14.

Correction

1) Les diviseurs de 15 sont 1 ; 3 ; 5 et 15.
(n+3)(m+2)=15 signifie que n+3 et m+2 divisent 15 et leur produit est égal à 15
donc (n+3=1 et m+2=15) ou (n+3=15 et m+2=1) ou (n+3=3 et m+2=5) ou (m+3=5 et m+2=3).

ou encore (n=-2 et m=13 impossible) ou (n=12 et m=-1 impossible) ou (n=0 ; m=3) ou (n=2 ; m=1)
alors (n=0 et m=3) ou (n=2 et m=1).

2) nm+n+m=14 signifie nm+m+n+1=14+1
signifie m(n+1)+(n+1)=15
signifie (n+1)(m+1)=15
donc (n+1=1 et m+1=15) ou (n+1=15 et m+1=1) ou (n+1=3 et m+1=5) ou (n+1=5 et m+1=3)
ainsi (n=0 et m=14) ou (n=14 et m=0) ou (n=2 et m=4) ou (n=4 et m=2).