4- Nombres premiers et décomposition d'un entier

4.1 Nombres premiers

4.1.1 Définition

Un nombre premier est un entier plus grand que 1 qui admet exactement deux diviseurs distincts 1 et lui même.

4.1.2 Exemples

1) 2 est un nombre premier car il admet exactement deux diviseurs différents 1 et 2.

2) 3 est un nombre premier
3) 5 est un nombre premier
4) Les nombres premiers inférieurs à 100

2	3	5	7	11	13	17	19
23	29	31	37	41	43	47	53
59	61	67	71	73	79	83	97

Notons que 1 n'est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur c'est 1.

4.2 Décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers

4.2.1 Exemples

1) On a 108=1×108=2×54=2×2×27
=2²×27= 2²×3×9=2²×3×3×3
donc 108 =2²×3³ (2 et 3 sont deux nombrs premiers).
2) On a 2100=1×2100=2×1050
=2×2×525=2×2×3×175
=2×2×3×5×35=2×2×3×5×5×7
donc 2100=2²×3×5²×7.

Notons que 2 ; 3 ; 5 et 7 sont des nombres premiers.
Pour décomposer un entier on peut utiliser la technique suivante

108		2			2100		2
54		2			1050		2
27		3			525		3
7		7			175		5
1					35		5
					7		7
					1

4.2.2 Propriétés 1

1) Tout nombre entier naturel > 2 et non premier s'écrit sous la forme en produit de facteurs premiers.
2) Le ppmc(a;b) est le produit de leurs facteurs premiers communs ou non communs attribués au grand exposent.
3) Le pgdc(a;b) est le produit de leurs facteurs premiers communs attribués au petit exposent.

Exercice 1 tp

1) Déterminons pgdc(270 ; 700).
2) Déterminer ppmc(270 ; 700).

Correction

270		2			700		2
135		3			350		2
45		3			175		5
15		3			35		5
5		5			7		7
1					1

270= 2×3³×5.
700= 2²×5²×7.
En appliquant la propriété précédente on obtient
pgdc(270 ; 700)=2×5=10.
ppmc(270 ; 700)=2²×3³×5²×7=18900.

EXercice 2 tp

1) Calculer

A =	1	-	1
	540		1400

2) Simplifier

B =	√(2) +2√(3)	+	3√(2)-√(3)
	540		1400

4.2.3 Propriété 5

(crible d'Eratosthène)
Soit n∈IN*.
1) Si n n'est pas premier alors ses diviseurs premiers sont inférieurs ou égaux à √n.
2) s'il n'y a pas de nombre premien inférieur ou égal à √n alors n est premier.