Exercice 1 tp

1) Tester si 317 est un nombre premier.
2) Déterminer les diviseurs de 140.

Correction

Propriété (crible d'Eratosthène)
Soit n∈IN*.
1) Si n n'est pas premier alors ses diviseurs premiers sont inférieurs ou égaux à √n.
2) S'il n'y a pas de nombre premien inférieur ou égal à √n alors n est premier.
On applique cette propriété
(e1) √(317)=17,804..

(e2) Les nombres premiers ≤ 17 Sont 2 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ;
(e3) On vérifie si l'un d'eux divise 317 2∤317 ; 3∤317 ; 5∤317 ; 7∤317 ; 11∤317 ; 13∤317 ; 17∤317
donc 317 est un nombre premier
2) On a 140=1.140=2.70=4.35=5.28=7.20=10.14 les diviseurs de 140 sont donc

1	2	4	5
7	10	14	20
28	35	70	140

Exercice 2 tp

Tester si n=241 est un nombre premier ?

Correction

On a √241=15,52417..
Les nombres premiers ≤15 sont 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 et 13.
2∤241 car 241 est impair.
3∤241 car 3 ne divise pas la somme des chiffres de 241
5∤241 car l'unite de 241 n'est pas 5 ou 0.
7∤241 car 241÷7=34,428..

11∤241 car 241÷11=21,9090..
13∤241 car 241÷13=18,53..
donc 241 est un nombre premier.

Exercice 3 tp

Tester si n=117 est premier ?

Correction

On a √117=10,8..
Les nombres premiers ≤10 sont 2 ; 3 ; 5 et 7
2∤117
3|117 car 3 divse la somme des chiffres de 117 donc 117 n'est pas premier.

Exercice 4 tp

Tester si les nombres suivants
a = 511
b = 773
c = 2023
sont premiers ?

Exercice 5 tp

1) Décomposer a = 1428 et b = 2100 sous forme de produit des facteurs premiers.
2) Déterminer (a∧b) et (a∨b).
3) Vérifier que a×b=(a∧b)×(a∨b).

Correction

1) Décomposition de a et de b.

1428		2			2100		2
714		2			1050		2
357		3			525		3
119		7			175		5
17		17			35		5
1					7		7
					1

Donc a = 2².3.7.17 et b = 2².3.5².7
2) On applique une propriété de la leçon pour déterminer (a∧b) et (a∨b)
a∧b = 2².3.7 = 84
et a∨b = 2².3.5².7.17 = 35700
3) a . b = 1428.2100 = 2 998 800
(a∧b)×(a∨b) = 84.35700 = 2998800
donc a×b=(a∧b)×(a∨b).