2- معادلة مستقيم

2.1 مستقيم معرف بنقطة ومتجهة موجهة له

2.1.1 تقديم

1) متجهة التي تمثل اتجاه مستقيم (D) تسمى متجهة موجهة للمستقيم (D).

2) المستوى ℙ منسوب لمعلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). نعتبر في ℙ مستقيما (D) مارا من نقطة A(x_A;y_A) وموجها بمتجهة u^→(α;β).

M(x;y)∈(D) يعني det(AM^→;u^→)=0
يعني (x-x_A)α-(y-y_A)β=0
يعني αx-βy-(αx_A-βy_A)=0
نضع α=a و -β=b و -(αx_A-βy_A)=c
اذن M∈(D) يعني ax+by+c=0.

تعريف
ليكن x و y متغيرين حقيقيين
a و b و c ثلاثة أعداد حقيقية.
المعادلة ax+by+c=0 تسمى معادلة ديكارتية.

2.1.2 خاصية 1

المستوى ℙ منسوب لمعلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→).
كل مستقيم في المستوى له معادلة ديكارتية تكتب على الشكل ax+by+c=0.

2.1.3 خاصية 2

مجموعة نقط المستوى M(x;y) بحيث ax+by+c=0 هي مستقيم متجهته الموجهة u^→(-b;a).

ترميز
(D)= D(A;u^→) يعني أن (D) مستقيم متجهته الموجهة u^→ ويمر من النقطة A.

مثال
ليكن (D) مستقيما مارا من النقطة A(2;3) ومتجهته الموجهة u^→(1;4).
حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (D).

تصحيح
الطريقة الأولى
معادلة ديكارتية لمستقيم تكتب على الشكل ax+by+c=0.

u^→(1;4) متجهة موجهة ل (D)
اذن -b=1 و a=4
معادلة () تصبح 4x-y+c=0.
بما أن A(2;3)∈(D) فان الزوج (2;3) يحقق معادلة (D).
4.2-3+c=0 يعني c=-5
اذن 4x-y-5=0 معادلة ديكارتية للمستقيم (D).

الطريقة الثانية
M(x;y)∈(D) يعني det(AM^→;u^→)=0
يعني (x-2).4-(y-3).1=0
يعني 4x-8-y+3=0
اذن 4x-y-5=0 معادلة ديكارتية للمستقيم (D).