2.3 Equations paramétriques d'une droite

2.3.1 Propriété et définition

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ une droite (D) passant par un point E(a;b) et de vecteur directeur u^→(α;β). Une représentation paramétrique de (D) est définie par

{	x = a+kα	(k∈IR)
	y = b+ kβ

Démonstration
M(x;y)∈(D) signifie AM^→=ku^→ (k∈IR)
signifie encore x-a=kα et y-b=kβ (k∈IR) ainsi

{	x=a+kα	(k∈IR)
	y=b+ kβ

2.3.2 Exemple

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ une droite (D) passant par A(-7;1) et de vecteur directeur u^→(2;5).
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D).

2) Soient E(1;21) et F(3;-14) deux points dans ℙ.
(a) Vérifier que E∈(D).
(b) Le point F appartient il à la droite (D) ?

Correction
1) M(x;y)∈(D) signifie AM^→=ku^→ tel que k∈IR
donc le système suivant est une repésentation paramétrique de (D).

{	x=-7+2k	(k∈IR)
	y=1+ 5k

2) (a) E∈(D) signifie que le couple (1;21) vérifie le système.

Il existe donc un réel k tel que

{	1=-7+2k	signifie {	2k=8
	21=1+ 5k		5k=20

signifie k=4∈IR ainsi E∈(D).
(b) Si F∈(D) alors il existe un réel k tel que

{	3=-7+2k	signifie {	2k=10
	-14=1+ 5k		5k=-15

Signifie k=5 et k=-3 donc k=5=-3
et ce n'est pas possible alors F∉(D).