(12) المعادلات والمتراجحات والنظمات
2.2 اشارة ثلاثية الحدود
2.2.1 تذكير
نعتبر ثلاثية الحدود
T(x)=ax²+bx+c حيث a≠0.
الشكل القانوني ل T(x)
| T(x) = a([x+ | b | ]²- | Δ | ) |
| 2a | (2a)² |
2.2.2 اشارة T(x)
اذا كان Δ=0
| T(x) = a(x+ | b | )² |
| 2a |
T(x) لها اشارة a وتقبل جذرا مزدوجا.
| x1 = | -b |
| 2a |
| x | -∞ | x1 | +∞ | |||
| T(x) | a اشارة | 0 | a اشارة |
اذا كان Δ< 0 فان T(x) لا تعمل ولا تنعدم ولها اشارة a.
| x | -∞ | +∞ | |
| T(x) | a اشارة |
اذا كان Δ > 0 فان T(x) تقبل جذرين مختلفين.
| x1 = | -b - √(Δ) | x2 = | -b + √(Δ) | |
| 2a | 2a |
T(x)=a(x-x1)(x-x2)).
ننشئ جدول اشارة T(x)
حيث (x1 < x2).
| x | -∞ | x1 | x2 | +∞ | |||
| T(x) | a اشارة | 0 | -a اشارة | 0 | اشارة a |
تمرين 1 tp
ادرس اشارة ثلاثية الحدود التالية
Q(x)=-x²+2x-1.
تصحيح
يمكن كتابة Q(x) على شكل متطابقة هامة
وذلك بتعميل ب -1 وليس بالضرورة استعمال المميز.
Q(x)=-(x²-2x +1)=-(x-1)².
لدينا (x-1)² ≥ 0 اي -(x-1)² ≤ 0
اذن Q(x)≤0
وبالتالي لكل x∈IR لدينا Q(x)≤0.
تمرين 2 tp
ادرس اشارة T(x)=2x²+7x+3.
تصحيح
| a=2 | b=7 | c=3 |
Δ=b²-4ac=7²-4.2.3=49-24
Δ=25>0 اذن T(x) تقبل جذرين مختلفين.
| x1 = | -b - √Δ | x2 = | -b + √Δ | |
| 2a | 2a | |||
| = | -7 - √25 | = | -7 + √25 | |
| 2.2 | 2.2 |
| x1 = | -12 | x2 = | - 2 | |
| 4 | 4 | |||
| = | - 3 | = | - 1 | |
| 2 |
لدينا a=2>0 اذن
| x | -∞ | - 3 | -0,5 | +∞ | |||
| T(x) | + | 0 | - | 0 | + |
اذا كان x∈[-3;-0,5] فان T(x) ≤ 0.
اذا كان x∈]-∞;-3] ∪ [-0,5;+∞[ فان T(x)≥0.
تمرين 3 tp
ادرس اشارة L(x)=-2x²+3x+5.
تصحيح
| a=-2 | b=3 | c=5 |
Δ=b²-4ac=3²-4.(-2).5=9+40.
Δ=49>0 اذن L(x) تقبل جذرين مختلفين.
| x1 = | -b - √Δ | x2 = | -b + √Δ | |
| 2a | 2a | |||
| = | -3 - √49 | = | -3 + √49 | |
| 2(-2) | 2(-2) |
| x1 = | -10 | x2 = | 4 | |
| -4 | -4 | |||
| = | 5 | = | - 1 | |
| 2 |
لدينا a=-2<0 اذن
| x | -∞ | - 1 | 2,5 | +∞ | |||
| T(x) | - | 0 | + | 0 | - |
اذا كان x∈[-1;2,5] فان T(x)≥0.
اذا كان x∈]-∞;-1]∪[2,5;+∞[ فان T(x)≤0.