Equations Inéquations Et Systèmes (17)
3.2.3 Méthode de déterminants
Soient a ; b ; c ; a' ; b' et c' des nombres réels.
| (S) { | ax + by = c | (1) |
| a'x + b'y = c' | (2) |
On pose
| Δ = | a | a' | = ab'-a'b |
| b | b' |
| Δx = | c | a' | = cb' - c'b |
| c' | b' |
| Δy = | a | c | = ac' - a'c |
| a' | c' |
Si Δ≠0 alors le sysème (S) admet une solution unique
| S = {( | Δx | ; | Δy | )} |
| Δ | Δ |
Exemple 1
Résoudre le système suivant
| (S) { | 10x + 7y = 24 |
| 3x + 5y = 13 |
Correction
Δ=10.5-3.7=50-21=29.
Δ≠0 donc le sysème (S) admet une solution unique
Δx=24.5-13.7=29
Δy=10.13-3.24=58.
| x = | Δx | y = | Δy | |
| Δ | Δ | |||
| = | 29 | = | 58 | |
| 29 | 29 |
ainsi S={(1 ; 2)}.
Exemple 2
Résoudre le système suivant
| { | 7x-4y=2 |
| x+5y=17 |
Correction
On calcule Δ
| Δ = | 7 | -4 | ||
| 1 | 5 |
donc Δ=7.5-1.(-4)=39≠0.
On calcule Δx.
| Δx= | 2 | -4 | ||
| 17 | 5 |
donc Δx=2.5-17.(-4)=78.
On calcule Δy.
| Δy = | 7 | 2 | ||
| 1 | 17 |
donc Δy=7.17-1.2=117.
| S = {( | Δx | ; | Δy | )} |
| Δ | Δ | |||
| = {( | 78 | ; | 117 | )} |
| 39 | 39 |
ainsi S={(2 ; 3)}.
Exemple 3
Résoudre le système suivant
| { | x + 2y = 1 |
| 2x +4 y = 4 |
Correction
| Δ = | 1 | 2 | = 1.4-2.2 = 0 | |
| 2 | 4 |
Δ=0 dans ce cas les droites
(D): x+2y-1=0
et (D'): 2x+4y-4=0 sont parallèles.
Nous remarquons que 2x+4y=4 ⇔ 2(x+2y)=2.2
⇔ x+2y=2
et puisque 2≠1 alors (D) et (D') sont strictement parallèles
ainsi S=∅.