3.2.2 Méthode de combinaison lineaire

Exemple
Résoudre dans IR×IR le système suivant

{	7x + 4y = 10	(1)
	5x + 13y = -3	(2)

Correction
On s'interesse à 4y de l'équation (1)
et à 13y de l'équation (2)
On a 13×4y+(-4)×13y=52y-52y=0.

On multiplie les deux membres de l'équation (1) par 13 et les deux membres de l'équation (2) par (-4) on obtient

{	91x + 52y = 130
	-20x - 52y = 12

Maintenant on fait la somme membre à membre de deux équations
91x+52y+(-20x-52y)=130+12
ou encore 71x=142=71.2 donc x=2.

Notons qu'on peut remplacer x=2 dans l'une des deux équations pour obtenir la valeur de y. On choisit par exemple l'équation (1) 7x+4y=10
7.2+4y=10 signifie 4y=10-14=-4.
et donc y=-1
ainsi S={( 2 ; -1)}.

Mais nous pouvons continuer comme nous avons commencé.
2) On s'interesse donc à 7x de l'équation (1) et à 5x de l'équation (2).
On a -5×7x+7×5x=-35x+35x=0.
On multiplie les deux membres de l'équation (1) par -5 et les deux membres de l'équation (2) par 7 on obtient

{	-35x - 20y = -50
	35x + 91y = -21

Maintenant on fait la somme membre à membre de deux équations.
-35x-20y+35x+91y=-50-2
signifie 71y=-7
signifie y=-1
et donc (x=2 et y=-1)
ainsi S={(2;-1)}.

Cas général
On considère le système

(S) {	ax+by = c	(1)
	a'x+b'y = c'	(2)

on a donc

{	b'(ax+by-c)-b(a'x+b'y-c')= 0	(3)
	-a'(ax+by-c)+a(a'x+b'y-c')=0	(4)

Signifie

{	(ab'-a'b)x = cb'-c'b
	(ab'-a'b)y = ac'-a'c

Si ab'-a'b≠0 alors le système (S) admet une solution unique

(	cb'-c'b	;	ac'-a'c	)
	ab'-a'b		ab'-a'b

L'ensemble de solutions du ststème est donc

S = {(	cb'-c'b	;	ac'-a'c	)}
	ab'-a'b		ab'-a'b