(18) المعادلات والمتراجحات والنظمات
تمرين 1 tp
حل النظمة التالية باستعمال طريقة التعويض
| { | 3x - y = 5 |
| 2x + 4y = 8 |
تصحيح
3x-y=5 ⇔ y=3x-5 .
نعوض y في المعادلة الثانية
2x+4y=8.
2x+4(3x-5)=8 ⇔ 2x+12x-20=8
⇔ 14x=8+20 ⇔ 14x=28 ⇔ x=2
x=2 ⇒y=3×2-5 ⇒ y=1
وبالتالي S={(2 ; 1)}.
تمرين 2 tp
حل النظمة التالية باستعمال طريقة المحددة
| { | 2x - y = 5 |
| -4x + 2y = -10 |
تصحيح
| Δ = | 2 | -1 | = 2.2 - (-4).(-1) = 4-4 = 0 | |
| -4 | 2 |
Δ=0 في هذه الحالة يكون المستقيمان
(D): 2x-y-5=0
و
(D'): -4x+2y+10=0 متوازيين.
-4x+2y+10 ⇔ -2(2x-y+5)=0
⇔ 2x-y+5=0
وهذا يعني أن (D) و (D') منطبقان أي
(D) = (D') اذن النظمة تكافئ احدى المعادلتين
| { | 2x - y = 5 |
| -4x + 2y = -10 |
⇔ 2x-y-5=0 ⇔ y=2x-5
ومنه فا ن مجموعة حلول النظمة
S = {(x;2x - 5) / x∈IR}.
تمرين 3 tp
1) حل النظمة التالية
| { | 2x + 5y = 18 |
| 3x + 4y = 20 |
2) استنتج مجموعة حلول النظمة
| { | 2 | + | 5 | = 18 |
| x | y | |||
| 3 | + | 4 | = 20 | |
| x | y |
تصحيح
1) Δ=2.4-3.5=8-15=-7.
Δ≠0 اذن النظمة تقبل حلا وحيدا.
Δx=18.4-20.5=72-100=-28
Δy=2.20-3.18=40-54=-14.
| x = | Δx | y = | Δy | |
| Δ | Δ | |||
| = | -28 | = | -14 | |
| -7 | -7 |
وبالتالي S1 = {(4 ; 2)}.
2) أولا يجب أن يكون x≠0 و y≠0.
نلاحظ أن معاملات النظمة الثانية هي نفس معاملات النظمة الأولى اذن يكفي أن نضع
| X = | 1 | Y = | 1 | |
| x | y |
ومنه فان النظمة
| { | 2 | + | 5 | = 18 |
| x | y | |||
| 3 | + | 4 | = 20 | |
| x | y |
تكافئ
| { | 2X + 5Y = 18 |
| 3X + 4Y = 20 |
وحسب السؤال الأول فان الزوج (4;2) حل للنظمة ومنه فان (X=4 و Y=2) أي
| x = | 1 | y = | 1 | |
| 4 | 2 |
وبالتالي
| S2 = { | 1 | ; | 1 | } |
| 4 | 2 |
تمرين 4 tp
1) حل النظمة التالية
| { | 3x + y = 5 |
| x + y = 3 |
2) استنتج مجموعة حلول النظمة
| { | 3√(x) + √(y) = 5 |
| √(x) + √(y) = 3 |