2- Equations et inéquations du second degré à une inconnue

2.1 Equations du second degré

2.1.1 Activités

Exemple 4
1) Montrer que pour tout (x∈IR)
4x²-8x-21=4(x-1)²-25.

2) Déduire que pour tout (x∈IR)

4x²-8x-21 = 4(x -	7	)(x -	-3	)
	2		2

3) Résoudre dans IR l'équation
4x²-8x-21=0.

Correction
1) 4x²-8x-21=4(x²-2x)-21
= 4(x²-2x+1-1)-21=4(x-1)²-4-21
donc 4x²-8x-21=4(x-1)²-25.

2) 4x² 8x-21=4(x-1)²-25

= 4((x-1)² -	25	)
	4

Cette écriture est appelée forme canonique du trinôme 4x²-8x-21.

4x² - 8x - 21 = 4((x-1)² -	25	)
	4

= 4 ((x-1)² - (	5	)²)
	2

= 4 ((x-1 -	5	)(x-1 +	5	)
	2		2
= 4 ((x -	7	)(x -	-3	)
	2		2

3) 4x²-8x-21=0 signifie

4((x -	7	)(x -	-3	) = 0
	2		2

Signifie

(x -	7	= 0) ou (x -	-3	) = 0
	2		2

signifie

x =	7	) ou (x =	-3	)
	2		2

ainsi

S = {	-3	;	7	}
	2		2

2.1.2 Forme canonique d’un trinôme

Soit T(x)=ax²+bx+c tel que a≠0.

T(x)=a(x²+(	b	)x+	c	)
	a		a
=a([x+(	b	)]²-	b²-4ac	)
	2a		(2a)²

donc

T(x) = a([x+	b	]²-	b²-4ac	)
	2a		(2a)²

1) L'écriture suivante

T(x) = a([x+	b	]²-	b²-4ac	)
	2a		(2a)²

est appelée forme canonique du trinôme T(x).

2) Le nombre b²-4ac est appelé discriminant du trinôme T(x) et est noté Δ=b²-4ac.