1- Axiomes d'incidence et positions relatives

1.1 Axiomes d'incidence dans l'espace

1.1.1 Axiomes 1

Deux points distincts A et B déterminent une seule droite.

Définition On dit que trois points ou plus sont alignés s'ils appartiennent à la même droite.

1.1.2 Axiomes 2

Trois points A; B et C non alignés déterminent un seul plan.

Définitions 1) On dit que quatre points ou plus sont Coplanaires s'ils appartiennent au même plan.
2) On dit que deux droites sont coplanaires si elles sont inclues dans le même plan.

1.1.3 Axiome 3

Si deux points A et B d'une droite appartiennent à un plan P alors la droite (AB)⊂P.

1.1.4 Axiome 4

Si deux plans différents ont un point commun alors ils se coupent selon une droite passant par ce point.

Remarque
Toutes les propriétés du plan restent vraies dans chaque plan de l'espace.

Résultats
1) Deux droites sécantes déterminent un plan.
2) Un point A et une droite (D) qui ne contient pas A, déterminent un plan.

1.2 Positions relatives dans l'espace

1.2.1 Positions relatives d'une droite (D) et un plan (P)

Soient (D) une droite et P un plan.
Il y'a trois dispositions possibles
1) (D) traverse le plan (P) en un seul point A et on écrit (D)∩(P)={A}.
2) (D) est inclue dans (P) et on écrit (D)⊂(P).
3) (D) et (P) sont disjoints et on écrit (D)∩(P)=∅.

Exemples
Soit (ABCDEFGH) un cube.
1) (AD)⊂(AEH) car A∈(AD) et A∈(AEH) et puisque AEHD est un carré alors les les points A; E; H et D sont coplanaires donc D∈(AEH)
On a donc A∈(AEH) et D∈(AEH) alors (AD)⊂(AEH).
2) (HF)∩(BCG)={F}
F∈(BCG) donc (HF) coupe (BCG) en un seul point F.

Sinons (HF)⊂(BCG) donc H∈(BCG) ce qui est impossible du fait que ABCDEFGH est un cube
ainsi (HF)∩(BCG)={F}.
3) (AE) et (DHG) sont disjoints
supposons que (AE) et (DHG) ne sont pas disjoints alors (AE) coupe le plan (DHG) et par suit elle coupe la droite (HD) ce qui est impossible
alors (AE)∩(DHG)=∅.