3.3 Le taux d'accroissement d'une fonction

3.3.1 Définition

Soit f une fonction de domaine de définiton D.
On considère deux nombres réels distincts x et y (x≠y) de D.
Le nombre T(x;y) tel que

est appelé taux d'accroissement de f entre x et y.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=x²+4x.
1) Etudier les variations de la fonction f
sur ]-∞;-2]
et sur [-2;+∞[.
2) Tracer le tableau de variations de f.

Correction

Soient x; y∈IR tels que x≠y.
f(x)-f(y)=x²+4x-(y²+4y)
=(x²-y²)+4(x-y).

=(x-y)(x+y)+4(x-y)
=(x-y)(x+y+4)
donc T(x;y)=x+y+4.
Etudions le signe de x+y+4
1) (a) x; y∈]-∞;-2] signifie x≤-2 et y≤-2.
donc x+y<-4 (car x≠y) ou encore x+y+4<0
on a donc T(x;y)<0 ainsi f est strictement décroissante sur
]-∞;-2].

(b) x; y∈[-2;+∞[ signifie x≥-2 et y≥-2
donc x+y >-4 (l'inégalité est stricte car x et y sont différents ne peuvent donc pas avoir la valeur -2 en même temps).
Ou encore x+y+4>0 donc T(x;y)>0 ainsi f est strictement croissante sur [-2;+∞[.
2) Tableau de variations de f

3.3.2 propriétés

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est croissante sur I si et seulement si pour tous x et y de I tels que x≠y alors T(x;y)≥0.
f est décroissante sur I si et seulement si pour tous x et y de I tels que x≠y alors T(x;y)≤0.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par f(x)=2x²+3.
1) Etudier les variations de f sur IR⁺ puis sur IR^- et tracer son tableau de variations.

Correction

Soient x et y ∈IR tels que x≠y.
On vous laisse faire le calcule et on donne T(x;y)=2(x+y). De plus la fonction f est paire
il suffit donc d'étudier la monotonie sur IR⁺.

(a) Supposons que x; y∈IR⁺
ou encore (x≥0 et y≥0) donc x+y>0.
Notons que l'inégalité est stricte car x≠y
donc 2(x+y)>0 alors f est strictement croissante sur IR⁺.

(b) Puisque f est une fonction paire et strictement croissante sur IR⁺
alors f est strictement décroissante sur IR^-.

Tableau de variations