Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	x+2
	x-1

Etudier la monotonie de f sur D et tracer son tableau de variations.

Correction

D={x∈IR / x-1≠0}=IR \{1}
=]-∞;1[∪]1;+∞[.

Soient x;y∈D tels que x≠y

f(x) - f(y) =	x+2	-	y+2
	x-1		y-1

=	(x+2)(y-1)-(x-1)(y+2)
	(x-1)(y-1)
=	- 3(x-y)
	(x-1)(y-1)

Donc le taux d'accroissement de f entre x et y

T(x ; y) =	f(x)- f(y)	=	- 3
	x-y		(x-1)(y-1)

Signe de T(x;y).
(a) Si x;y∈]-∞;1[ alors x<1 et y<1
ou encore (x-1)<0 et (y-1)<0
donc (x-1)(y-1)>0
ainsi T(x;y)<0 car -3<0
alors f est strictement décroissante sur
]-∞;1[.

(b) Si x;y∈]1;+∞[ alors x>1 et y>1
ou encore (x-1)>0 et (y-1)>0
donc (x-1)(y-1)>0
ainsi T(x;y)<0 car -3<0
alors f est strictement décroissante sur
]1;+∞[.
Tableau de variations

x		-∞		1		+∞
f			↘		↘

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=-x²+4x+1.
Etudier la monotonie de f
sur I]-∞;2] puis sur [2;+∞[
et tracer son tableau de varaiations.

Correction

f est un polynôme donc D=IR.
Soient x; y ∈IR tels que x≠y.
f(x)-f(y)=-x²+4x+1-(-y²+4y+1)
=-x²+y²+4x-4y+1-1.

=-(x²-y²)+4(x-y)
=-(x-y)(x+y)+4(x-y)=(x-y)(-x-y+4).
donc f(x)-f(y)=(x-y)[-(x+y)+4]
ainsi le taux d'accroissement T(x;y) de f entre x et y

T(x ; y) =	f(x) - f(y)
	x-y

ou encore T(x;y)=-(x+y)+4.

1) Monotonie de f sur I=]-∞;2].
x; y∈I signifie x≤2 et y≤2
signifie x+y<4 (l'inégalité est stricte car x et y sont différents donc ne peuvent pas prendre la même valeur 2 en même temps).
signifie -(x+y)>-4
signifie -(x+y)+4>0
donc T(x;y)>0 et cela signifie que f est strictement croissante
sur I=]-∞;2].

2) Monotonie de f sur J=[2;+∞[.
x; y∈I signifie x≥2 et y≥2
signifie x+y>4. signifie -(x+y)<-4
signifie -(x+y)+4<0
donc T(x;y)<0 et cela signifie que f est strictement décroissante
sur J=[2;+∞[.
Tableau de variations

x		-∞		2		+∞
f			↗	5	↘