2- Parité d'une fonction

2.1 Domaine centré en zéro

2.1.1 Activités

Déterminer parmi les ensembles suivants ceux qui sont symétriques par rapport à zéro
E={-3;-2;0;2;3}
F={-4;-2;-1;0;2;4}
G=[-5;5]
H=]-7;-4[U]4;7[
K=]-2;2].

Correction
1) E est symétrique par rapport à zéro
car 3 ;-3∈E et 2 ; -2∈E.

2) G est symétrique par rapport à zéro car l'intervalle [-5;5] est centré en 0.
3) H est symétrique par rapport à zéro
car la symétrie de l'intervalle ]4;7[
est l'intervalle ]-7;-4[.
Conclusion E ; G et H sont des domaines centré en zéro 0.

4) F n'est pas symétrique par rapport à 0 car -1∈F mais son opposé 1∉F.
5) K n'est pas symétrique par rapport à zéro car 2∈K mais son opposé -2∉K.
Conclusion F et K ne sont pas des domaines centré en zéro.

2.1.2 Définition

On dit qu'un ensemble E est un domaine symétrique par rapport à 0 (ou centré en 0)
si pour tout x∈E alors (-x)∈E.

En d'autre terme
Tout élément de E et son opposé appartiennent tous les deux à E.

Exemples
Si 3∈E alors (-3)∈E.
Si (-7)∈E alors -(-7)=7∈E.
Si √12∈E alors -√12∈E ..

2.1.3 Remarque

Soit E un domaine symétrique par rapport à 0 (ou centré en 0).
Si nous en supprimons deux éléments opposés, nous obtenons également un domaine symétrique par rapport à 0.

Exemple
L'ensemble E={-4;-2;-1;1;2;4} est un domaine centré en 0
nous en supprimons -2 et 2.
Nous obtenons également l'ensemble cenreé en 0
F={-4;-1;1;4}.