4.3 approximations décimales

4.3.1 Partie entière

Exemples
1) On a 1≤√3<2.
Le nombre réel √3 est encadré par deux entiers relatifs successifs 1 et 2.
Le plus petit entier 1 est appelé Partie entière de √3 et est noté [√3]=1 ou E(√3)=1.

2) On a -2≤-1,5<-1.
Le nombre -(1,5) est encadré par deux entiers relatifs successifs -2 et -1.
Le plus petit entier -2 est appelé Partie entière de -1,5 et est notée [-1,5]=-2 ou E(-1,5)=-2.

3) On a 14≤14<15.
Le nombre 14 est encadré par deux entiers relatifs successifs 14 et 15.
Le plus petit entier 14 est appelé Partie entière de 14 et est notée [14]=14 ou E(14)=14.

Définition
Soit x∈IR.
Il existe un seul entier relatif n tel que x est encadré par n et n+1.
L'entier n est appelé partie entière de x et est noté E(x).
autrement dit E(x)=n signifie n≤x<n+1.

Remarque
E(x)=x signifie x∈ ℤ.

4.3.2 Propriété et définition

Soient x∈ℝ et n∈IN.
Il existe un entier relatif p tel que
10^-np≤x<10^-n(p+1)
10^-np est appelé approximation décimale par défaut de x de précision 10^-n ou de rang n.
10^-n(p+1) est appelé approximation décimale par excès de x de rang n.

Démonstration
On applique la définition de la partie entière.
Il existe un entier relatif p tel que E(10ⁿx)=p
p≤10ⁿx<p+1
ou encore p10^-n≤x<(p+1)×10^-n.

Exemple
On considère le nombre réel √(2) et on fixe n=3.
On obtient E(10³×√(2))=1414.
donc 1,414 ≤√(2)<1,415.
On a donc 1,414 est l'approximation décimale par défaut de √(2) de rang 3.
et 1,415 est l'approximation décimale par excès de √2 de rang 3.