الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية (1)
1- الترتيب والعمليات
1.1 انشطة
قارن بين العددين a و b في كل من الحالات التالية
1) a=12,15 و b=12.149
| 2) | 1 | و | 1 |
| 4 | 3 |
3) a=√48 و b=7.
| a=2√( | 2 | ) و b=√(1+ | 5 | ) (4 |
| 3 | 3 |
تصحيح
لمقارنة عددين يكفي دراسة اشارة فرقهما.
1) a-b=12,15-12,149=0,001
وبما ان
0,001
عدد موجب فان
12,15>12,149.
2) نوحد مقام العددين
| 1 | - | 1 | = | 3 | - | 4 |
| 4 | 3 | 12 | 12 |
| = | -1 | < 0 |
| 12 |
اذن a<b.
3) لمقارنة a=√48 و b=7 يكفي مقارنة مربعيهما
a²=(√48)²=48
و
b²=7 =49
وبما ان
49>48
فان
b>a.
4) بالنسبة لهذا السؤال نلاحظ ان
| b = √(1 + | 5 | ) = √(( | 3 + 5 | ) |
| 3 | 3 |
| = √( | 8 | ) = 2√( | 2 | ) |
| 3 | 3 |
لان √8=2√2 اذن a=b.
1.2 تعاريف
ليكن x و y عددين حقيقيين.
| y-x∈IR+ | يعني | x ≤ y |
| x-y∈IR+ | يعني | x ≥ y |
| y-x∈IR+* | يعني | x < y |
| x-y∈IR+* | يعني | x > y |
1.3 خاصيات
1.3.1 خاصيات الجمع
لتكن x و y و z و α أعداد حقيقية.
(a) x≤y يكافئ x+z≤y+z.
(b) اذا كان (x≤y) و (z≤α) فان x+z≤y+α.
(c) اذا كان (x≤y) و (y≤z) فان x≤z
امثلة
1) √7<√10
يكافئ
3+√7<3+√10.
2) 4>2 و √3<3
اذن 2+√3<7.
3) 3<10
و
10<13 اذن
3<13.
1.3.2 خاصيات الجداء
1) لتكن x و y و z و α أعداد حقيقية.
(a) x≤y و z>0 يكافئ z.x≤z.y.
(b) x≤y و z<0 يكافئ z.x≥z.y.
2) نفترض ان الأعداد x و y و z و α موجبة اذن
اذا كان (x≤y) و (z≤α) فان z.x≤α.y.
امثلة
1) 4≤5
يكافئ
2.4≤2.5
لان
2>0.
2) √2<3
يكافئ
-5.√2 > -5.3
لان
-5<0
اذن
-5.√2>-15.
3) 7≤10 و 2≤3 اذن 14≤30.
للتذكير
(a) ليكن x و y عددين حقيقيين موجبين.
x≤y يكافئ x²≤y².
(b) ليكن x و y عددين سالبين.
x≤y يكافئ x²≥y².
(c) ليكن x و y عددين غير منعدمين ولهما نفس الاشارة.
| x ≥ y يعني | 1 | ≤ | 1 |
| x | y |
تمرين 1 tp
قارن العددين a و b في كل حالة من الحالات التالية
1)
| a = | 9 | b = | 7 | |
| 5 | 4 |
2) a=3√5 و b=5√3.
3) a=2+3√5 و b=3+2√5.