3- Colinéarité de deux vecteurs et alignement de trois points

3.1 Colinéarité de deux vecteurs

3.1.1 Propriété

On dit que deux vecteurs u^→ et v^→ sont colinéaires si et selement s'il existe un réel k tel que v^→=ku^→.

3.1.2 Exemple

1) Soient u^→ et v^→ deux vecteurs tels que v^→=3u^→.
u^→ et v^→ sont donc colinéaires et de même sens.
2) Soient A , B , C et D quatre points dans le plan tels que AB^→=-2CD^→.
Les vecteurs AB^→ et CD^→ sont colinéairs et de sens contraires.

3.2 Alignement de trois points

3.2.1 Définition

On dit que trois points (ou plus) sont alignés s'ils se trouvent sur la même droite.

3.2.2 Propriété

Soient A , B et C trois points dans le plan.
A , B et C sont alignés si et seulement si les deux vecteurs AB^→ et AC^→ sont colinéaires
c'est à dire s'il existe un réel k tel que AC^→=kAB^→.

3.3 Définition vectorielle du milieu d’un segment

3.3.1 Définition

Soient A et B deux points dans le plan.
On dit qu'un point I est le milieu du segment [AB] si IA^→+IB^→ =O^→ ou encore si

→ AI	=	1	→ AB
		2

3.3.2 Propriété

Propriété caractéristique
I est le milieu du segment [AB] signifie pour tout point M du plan on a
MA^→+MB^→=2MI^→ ou encore

→ MI	=	1	(	→ MA	+	→ MB	)
		2

Démonstration
On utilise la relation de Chasles
MA^→+MB^→
= MI^→+IA^→+M^→I+IB^→
= 2MI^→+IA^→+IB^→.
On a IA^→+IB^→=O^→
donc MA^→+MB^→=2MI^→
ainsi MA^→+MB^→=2MI^→.

Exercice 1 tp

Soit ABCD un parallélogramme. On considère deux points E et F tels que
4AE^→=AB^→

DF→ =	4	DA→
	3

1) Tracer la figure.

2) Montrer que CF^→=-4AE^→+DF^→ et CE^→=DA^→-3AE^→.
3) Montrer que CE^→ et CF^→ sont deux vecteurs colinéaires.
4) Déduire que E , F et C sont des points alignés.