1- Notion de polynôme

1.1 Définition d'un polynôme

1.1.1 Introduction

Soit x∈IR.
1) L'expression x+3 s'écrit en fonction de la variable x et est la somme de deux termes x et 3.
L'expression x+3 est appelée polynôme de degré 1 ou un binôme.

2) L'expression x²-5x+4 s'écrit en fonction de la variable x et est la somme de trois termes x² , -5x et 4.
L'expression x²-5x+4 est appelée polynôme de degré 2 ou un trinôme.
3) L'expression x²+√(x)+1 s'écrit en fonction de la variable x et comporte aussi une racine carrée de x.
Ainsi l'expression x²+√(x)+1 n'est pas un polynôme.

4) Les expréssions

ne sont pas des polynômes car la première comporte un inverse de x et la deuxième la valeur absolue.

1.1.2 Définition

Soient x , a , b , c et d des nombres réeles.
Une expression qui s'écrit en fonction des termes x , x² , x³ , .. , xⁿ tel que n∈IN est appelée un polynôme et est noté par une lettre P ou Q ..

Exemple
On considère le polynome P de la variable réel x
tel que P(x)=3x+5.
Calculer P(-2) , P(0) et P(4).

Correction
1) Calculons P(-2)
la variable x a pris donc une valeur x=-2.
P(-2)=3.(-2)+5=-6+5=-1.
-1 est appelé image de -2 par le polynôme P.
et -2 est appelé antécédent de -1 par P.
2) Calculons P(0)
la variable x a pris donc la valeur x=0
P(0)=3.0+5=5.
5 est l'image de 0 par P et 0 est l'antécédent de 5 par P.

3) Calculons P(4)
la variable x a pris la valeur 4.
P(4)=17.
17 est l'image de 4 et 4 est l'antécédent de 17 par P.

Exercice 1 tp

Soit Q un polynôme de la variable réel x
tel que Q(x)=-2x²+5x-2.
Calculer Q(-1); Q(0); Q(2) et Q(1/2).

1.1.3 Définitions

1) Soit P le polynôme de la variable x définie par P(x)=k tel que k∈IR.
P est appelé polynôme constant. ( P(0)=k et P(-2)=k ..)
de plus le degré de P est 0 et on écrit degP=0
car pour x≠0 on a P(x)=k=k.x°.
2) Soit Q le polynôme de la variable x définie par Q(x)=ax+b tel que a≠0.
Le polynôme Q est de degré 1 et de coefficients a et b.

Q est appelé un binôme.
3) Soit T le polynôme de la variable x définie par T(x)=ax²+bx+c tel que a≠0.
Le polynôme T est de degré 2 et de coefficients a , b et c.
T est appelé un trinôme.
4) Soit F le polynôme de la variable x définie par F(x)=ax³+bx²+cx+d tel que a≠0.
Le polynôme F est de degré 3 et de coefficients a , b , c et d.