1.2 Egalité de deux polynômes

1.2.1 polynôme nul

Un polynôme P est nul si tous ses coefficients sont nuls.
En d'autre terme
P=0 signifie pour tout (x∈IR): P(x)=0.

1.2.2 Définition

Deux polynômes sont égaux s'ils sont de même degré et que les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.

1.2.3 Propriété

Soient P et Q deux polynômes.
P=Q si et seulement si P-Q=0 (P-Q est un polynôme nul).

Exercice 1 tp

Soient P et Q deux polynômes tels que
P(x)=3x²-2x+1-2x²+2-3x.
Q(x)=x²-5x+3. Montrer que P=Q.

Correction

Le polynôme P(x) n'est pas ordonné, il doit donc ordonné par ordre décroissant.
P(x)=3x²-2x²-2x-3x+1+2
= x²-5x+3
donc P(x)=x²-5x+3. On a donc P(x)=Q(x)
et deg(P)=deg(Q)=2 alors P=Q.

1.3 Opérations sur les polynômes

1.3.1 Somme de deux polynômes

Propriété
Soient p et q deux polynômes.
p+q ; p-q sont aussi des polynômes.

Exemple
Soient p=x²-3 et q=3x+7.
Déterminer p(x)+q(x) et p(x)-q(x).

Correction
1) p(x)+q(x)=x²-3+3x+7
= x²+3x+4
donc p(x)+q(x)=x²+3x+4.
2) p(x)-q(x)= x²-3-(3x+7)
=x²-3x-10
donc p(x)-q(x)=x²-3-10.

1.3.2 Produit de deux polynômes

Propriété
Soient p et q deux polynômes et k∈IR.
kp et pq sont aussi des polynômes.

Exemple
Soient p=x-5 et q=3x²+1.
Déterminer
7p(x) et p(x)q(x).

Correction
1) 7p(x)=7(x-5)
= 5x-35
donc 7p(x)=5x-35.
2) p(x)×q(x)=(x-5)(3x²+1)
=3x³+x-15x²-5
=3x³-15x+x-5.
donc p(x)×q(x)=3x³-15x-5.