الحدوديات (4)
3.2.3 تقنية القسمة الاقليدية
مثال 1
نحدد القسمة الاقليدية للحدودية p(x)=x²-3x+2 على x-1.
| x² | -3x | +2 | x-1 | |
| -x² | +x | x-2 | ||
| +0 | -2x | +2 | ||
| +2x | -2 | |||
| 0 | +0 |
الخارج هو q(x)=x-2 والباقي r=0
اذن p(x) تقبل القسمة على x-2 أو 2 هو جذر للحدودية p(x).
p(x)=(x-1)(x-2) بهذه الطريقة نكون قمنا بتعميل الحدودية p(x).
مثال 2
نحدد القسمة الاقليدية للحدودية p(x)=2x³-x²-9x-5 على x+2.
| 2x³ | -x² | -9x | -5 | x+2 | |
| -2x³ | -4x² | 2x²-5x+1 | |||
| +0 | -5x² | -9x | -5 | ||
| +5x² | +10x | ||||
| 0 | x | -5 | |||
| 0 | -x | -2 | |||
| 0 | -7 |
اذن الخارج q(x)=2x²-5x+1 والباقي r=-7.
r≠0 اذن p(x) لا تقبل القسمة على x+2
أي
-2 ليس جذرا للحدودية p(x).
p(x)=(x+2)(2x²-5x+1)-7.
مثال 3
نحدد القسمة الاقليدية للحدودية p(x)=-2x³+25x-125 على x+5.
| -2x³ | 0x² | +25x | -125 | x+5 | ||
| +2x³ | +10x² | -2x² | +10x | -25 | ||
| +0 | +10x² | +25x | -125 | |||
| -10x² | -50x | |||||
| 0 | -25x | -125 | ||||
| 0 | +25x | +125 | ||||
| 0 | 0 |
الخارج اذن q(x)=-2x²+10x-25 والباقي r=0
r=0 اذن p(x) قابلة للقسمة على x+5
أي
(-5) جذر للحدودية p(x).
p(x)=(x+5)(-2x²+10x-25).
تمرين 1 tp
لتكن p(x)=5x³-2x²-5x+2 حدودية.
1) بين أن p(x) قابلة للقسمة على x-1.
2) حدد b و c de بحيث
p(x)=(x+1)(5x²+bx+c).
3) تحقق أن
-1 حل للمعادلة
5x²+3x-2=0
ثم استنتج تعميلا للحدودية p(x).
4) حل في IR المتراجحة p(x)≥0.
تمرين 2 tp
نعتبر الحدودية
p(x)=x³+(2+√2)x²+(-3+2√2)x-3√2.
1) أنجز القسمة الافليدية للحدودية p(x) على x-1.
2) تحقق أن p(x)=(x-1)(x+3)(x+√2).
3) استنتج مجموعة حلول المتراجحة p(x)≤0.