الحدوديات (3)
3- القسمة الاقليدية لحدودية على x-α
3.1 جذر حدودية
3.1.1 أنشطة
لتكن T(x)=2x²-3x+1 ثلاثية الحدود.
1) أحسب T(1) و T(-3)
| T( | 1 | ) و |
| 2 |
2) حدد a و b
بحيث T(x)=(x-1)(ax+b).
تصحيح
1) T(1)=2.1²-3.1+1=0
نقول 1 ان جذر لثلاثية الحدود T.
نقول أيضا
T(x) يقبل القسمة على x-1.
T(-3)=2.(-3)²-3.(-3)+1
=18+9+1=28
T(-3)=28≠0 اذن
-3 ليس جذرا لثلاثية الحدود T(x).
| T( | 1 | ) = 0 |
| 2 |
| T(x) جذر ل | 1 | اذن |
| 2 |
2) ننشر (x-1)(ax+b).
(x-1)(ax+b)=ax²+bx-ax-b
=ax²+(b-a)x-b
T(x)=2x²-3x+1=ax²+(b-a)x-b يعني
| a=2 | b-a=-3 | -b=1 |
لدينا اذن a=2 و b=-1
بشرط أن تكون المتساوية b-a=-3 محققة.
b-a=(-1)-(2)=-3 اذن a=2 و b=-1
نستنتج اذن كتابة T(x) على شكل جداء حدوديتين
T(x)=(x-1)(2x-1).
3.1.2 تعريف
ليكن α عددا حقيقيا.
نقول ان α جذر للحدودية p اذا كان p(α)=0.
3.2 القسمة الاقليدية لحدودية p(x) على x-α
3.2.1 خاصية وتعريف
لتكن p حدودية من الرتبة n و α عددا حقيقيا معلوما.
p(α)=0 لعني توجد حدودية q من الرتبة n-1 بحيث
p(x)=(x-α)q(x)
ونقول ان p(x) قابلة للقسمة على x-α.
ملاحظة
اذا كان p(α)≠0 فان p(x)=(x-α)q(x)+p(α).
الحدودية q(x) تسمى خارج القسمة p(x) على x-α
و p(α)=r باقي القسمة.
3.2.2 تعميل حدودية
تعريف
تعميل حدودية هو كتابتها على شكل جذاء حدوديات درجتها أصغر ما يمكن.
أمثلة
1) عمل الحدودية p(x)=x²-5.
2) عمل الحدودية q(x)=x4-1.
تصحيح
1) p(x)=x²-(√5)²
اذن p(x)=(x-√5)(x+√5).
2) q(x)=((x²)²-(1²)²)
=(x²-1)(x²+1)
اذن q(x)=(x-1)(x+1)(x²+1).