3.2.3 Technique de la division Euclidienne

Exemple 1
On fait la division euclidienne du polynôme p(x)=x²-3x+2 par x-1.

Le quotient q(x)=x-2 et le reste r=0
donc p(x) est divisible par x-2 ou encore 2 est une racine du polynôme p(x).
p(x)=(x-1)(x-2) de cette façon nous avons factorisé le polynôme p(x).

Exemple 2
On fait la division euclidienne du polynôme p(x)=2x³-x²-9x-5 par x+2.

Donc le quotient q(x)=2x²-5x+1 et le reste r=-7.
r≠0 donc p(x) n'est pas divisible par x+2 ou encore -2 n'est pas une racine du polynôme p(x).
p(x)=(x+2)(2x²-5x+1)-7.

Exemple 3
On fait la division euclidienne du polynôme p(x)=-2x³+25x-125 par x+5.

Donc le quotient q(x)=-2x²+10x-25 et le reste r=0
r=0 donc p(x) est divisible par x+5
ou encore (-5) est une racine du polynôme p(x).
p(x)=(x+5)(-2x²+10x-25).

Exercice 1 tp

Soit p(x)=5x³-2x²-5x+2 un polynôme.
1) Montrer que p(x) est divisible par x-1.
2) Déterminer b et c de sorte que
p(x)=(x+1)(5x²+bx+c).
3) Vérifier que -1 est une solution de l'équation 5x²+3x-2=0 puis déduire une factorisation du polynôme p(x).
4) Résoudre dans IR l'inéquation p(x)≥0.

Exercice 2 tp

On considère le polynôme suivant
p(x)=x³+(2+√2)x²+(-3+2√2)x-3√2.
1) Faire la division euclidienne de p(x) par x-1.
2) Vérifier que p(x)=(x-1)(x+3)(x+√2).
3) Déduire l'ensemble de solutions de l'inéquation p(x)≤0.