3- Division euclidienne de p(x) par x-α

3.1 Racine d'un polynôme

3.1.1 Activité

Soit T(x)=2x²-3x+1 un trinôme.
1) Calculer T(1)

2) Déterminer a et b
de sorte que T(x)=(x-1)(ax+b).

Correction
1) T(1)=2.1²-3.1+1=0
on dit 1 est une racine du trinôme T.
on dit aussi que
T(x) est divisible par x-1.
T(-3)=2.(-3)²-3.(-3)+1
=18+9+1=28
T(-3)=28≠0 alors -3 n'est pas une racine de T(x).

2) On développe (x-1)(ax+b).
(x-1)(ax+b)=ax²+bx-ax-b
=ax²+(b-a)x-b
T(x)=2x²-3x+1=ax²+(b-a)x-b signifie

On a donc a=2 et b=-1 de sorte que la condition b-a=-3 doit être vérifiée.
b-a=(-1)-(2)=-3 ainsi a=2 et b=-1
on déduit donc l'écriture de T(x) en produit de deux polynômes
T(x)=(x-1)(2x-1).

3.1.2 Définition

Soit α un nombre réel
on dit que α est une racine d’un polynôme p si p(α)=0.

3.2 Division euclidienne de p(x) par x-α

3.2.1 Propriété et définition

Soient p un polynome de degré n et α une constante réel.
p(α)=0 signifie qu'il existe un polynome q de degré n-1 tel que
p(x)=(x-α)q(x) et on dit que p(x) est divisible par x-α.

Remarque
Si p(α)≠0 alors p(x)=(x-α)q(x)+p(α)
q(x) est appelée quotient de p(x) par x-α et p(α)=r est le reste de cette division.

3.2.2 Factorisation d’un polynôme

Définition
Factoriser un polynome consiste à l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes du plus petit degré possible.

Exemples
1) Factoriser le polynome p(x)=x²-5.
2) Factoriser le polynome q(x)=x⁴-1.

Correction
1) p(x)=x²-(√5)²
donc p(x)=(x-√5)(x+√5).
2) q(x)=((x²)²-(1²)²) = (x²-1)(x²+1)
donc q(x)=(x-1)(x+1)(x²+1).