Exercice 1 tp

Soit p(x)=x³-3x²+3x-1 un polynôme.
1) Déterminer une racine de p(x).
2) Factoriser p(x).

Exercice 2 tp

Soit p(x)=2x³-x²-8x+14 un polynôme.
1) Réaliser la division euclidienne de p(x) par x+2.
2) On pose h(x)=p(x)-p(-2).
Montrer que h(x) est divisible par x+2.

3) Montrer que h(x) est divisible par x-2.
4) Factoriser h(x) et déterminer ses racines.

Correction

1) Avant d'effectuer la division euclidienne on calcule h(-2).
h(-2)=2(-2)³-(-2)²-8.(-2)+14=10≠0
et cela signifie que -2 n'est pas une racine de p(x) ainsi p(x) n'est pas divisible par x+2.
Pour déterminer le quotient et le reste on effectue la division euclidienne.

2x³	-x²	-8x	+14	x	+2
-2x³	-4x²			2x²	-5x	+2
+0	-5x²	-8x	+14
	+5x²	+10x
	0	+2x	+14
	0	-2x	-4
		0	+10

donc q(x)=2x²-5x+2 et le reste r=10
ainsi p(x)=(x+2)(2x²-5x+2)+10.

2) h(x)=p(x)-p(-2)
h(-2)=p(-2)-p(-2)=0
et cela signifie que -2 est une racine de h(x) ainsi h(x) est duvisible par x+2.
3) h(x)=p(x)-10=(x+2)q(x)
donc h(2)=(2+2)q(2)
ou encore q(2)=2.2²-5.2+2=8-10+2=0
ainsi h(2)=0 et donc 2 est une racine de h(x)
alors h(x) est divisible par x-2.

4) Factorisation de h(x)
puisque h(x)=(x+2)q(x) et q(2)=0
il suffit donc de factoriser q(x).

2x²	-5x	+2	x	-2
-2x²	+4x		2x	-1
+0	-x	+2
	+x	-2
	0	+0

donc q(x)=(x-2)(2x-1)
ainsi h(x)=(x+2)(x-2)(2x-1).

Exercice 3 tp

Soit p(x)=x³+343 un polynôme.
1) Trouver une racine de p(x).
2) Déterminer p ; b et c sachant que p(x)=(x+p)(x²+bx+c).

Correction

1) On a
7³=343 ou encore (-7)³=-343
ainsi p(-7)=-343+343=0 et cela signifie que -7 est une racine de p(x).

2) Puisque -7 est une racine de p(x)
alors il existe deux nombres b et c
tels que p(x)=(x+7)(x²+bx+c).
On peut réaliser la division euclidienne pour déterminer b et c ou on utilise l'identité remarquable
p(x)=x³ +7³
=(x+7)(x²-7x+49)
et puisque p(x)=(x+7)(x²+bx+c)
alors b=-7 et b=49.

Exercice 4 tp

Soit p(x)= 2x²+5x-7 un polynôme.
1) Déterminer un encadrement de p(x).
2) (a) Déterminer les racines de p(x) parmi les nombres suivants
-3,5 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2.
(b) Déduire la factorisation de p(x).
(c) Donner un autre encadrement de p(x) et comparer les deux amplitudes.