Exercice 1 tp

Soit p(x)=-3x³+25x+92.
effectuer la division euclidienne de p(x) par x-4.

Correction

On remarque qu'il n y'a pas de terme de second degré
il vaut mieux le remplacer par 0.x² lors de la réalisation de la division euclidienne
p(x)=-3x³+0.x²+25x+92.

-3x³	0x²	+25x	+92	x	-4
+3x³	-12x²			-3x²	-12x	-23
+0	-12x²	+25x	+92
	+12x²	-48x
	0	-23x	+92
	0	+23x	-92
		0	0

Le quotient q(x)=-3x²-12x-23 et le reste r=0.
p(x)=(x-4)(-3x²-12x-23)
donc p(x) est divisible par x-4 ou encore 4 est une racine de p(x).

Exercice 2 tp

Soit p(x)=2x³-9x²-25 un polynôme.
1) Calculer p(5) et déduire que p(x) est divisible par x-5.
2) Réaliser la divion euclidienne de p(x) par x-5 pour déterminer le quotient.

Exercice 3 tp

Soit p(x)=x³-1 un polynôme.
1) Calculer p(1) et déduire que p(x) est divisible par x-1.
2) Réaliser la division euclidienne de p(x) par x-1 pour déterminer le quotient.

Exercice 4 tp

Soit p(x)=x³+27 un polynôme.
1) Calculer p(-3) et déduire que p(x) est divisible par x+3.
2) Déterminer b et c
sachant que p(x)=(x+3)(x²+bx+c).
A quoi vous faire penser cette formule ?

Exercice 5 tp

1) Réaliser la division euclidienne du polynôme
p(x)=x²-4x+3 par x-3.
2) Factoriser p(x) et donner ses deux racines.
3) Factoriser q(x)=p(x)-x+1.
4) Résoudre l'inéquation q(x)<0.

Correction

x²	-4x	+3	x	-3
-x²	+3x		x	-1
+0	-x	+3
	+x	-3
	0	+0

2) Le quotien est x-1 et le reste est 0
donc p(x)=(x-3)(x-1)
ainsi p(x) admet deux racines 1 et 3.

3) On factorise q(x)=p(x)-x+1.
q(x)=(x-3)(x-1)-(x-1)
=(x-1)(x-3-1)
donc q(x)=(x-1)(x-4).
4) On résout l'inéquation q(x)<0.
Premièrement on résout l'équation q(x)=0.
(x-1)(x-4)=0
signifie (x-1=0 ou x-4=0)
donc x=1 ou x=4.

Puis on étudie le signe de q(x) en utilisant un tableau de signe

x	-∞		1		4		+∞
x-1		-	0	+	|	+
x-4		-	|	-	0	+
p(x)		+	0	-	0	+

donc l'ensemble des solutions de l'inéquation S=]1;4[.