تمرين 1 tp

نعتبر الحدودية p(x)=5x³-2x²-5x+2.
1) بين ان الحدودية p(x) تقبل القسمة على x-1.
2) حدد العددين b و c بحيث p(x)=(x+1)(5x²+bx+c).
3) تحقق ان -1 جذر للحدودية q(x)=5x²+3x-2 ثم استنتج تعميل الحدودية p(x).
4) حل في IR المتراجحة p(x)≥0.

تصحيح

1) p(x) تقبل القسمة على x-1 اذا كان 1 جذرا لها لذا نحسب p(1)
p(1)= 5.1³-2.1²-5.1+2=5-2-5+2=0
اذن 1 جذر للحدودية p(x) وبالتالي p(x) تقبل القسمة على x-1
2) بما ان p(x) تقبل القسمة على x-1 فانه توجد حدودية q(x) درجتها 3-1=2
بحيث p(x)=(x-1)(5x²+bx+c) مع a=5.

p(x)=5x³+bx²+cx-5x²-bx-c
=5x³+(b-5)x²+(c-b)x-c
نعلم ان p(x)=5x³-2x²-5x+2
اذن b-5 = -2 ; c-b=-5 ; -c=2
b=3 ; c=-5+3=-2 و -c=2 محققة
ومنه فان p(x)=(x-1)(5x²+3x-2).

طريقة ثانية ننجز القسمة الاقليدية ل p(x) على x-1

5x³	-2x²	-5x	+2	x	-1
-5x³	+5x²			5x²	+3x	-2
+0	3x²	-5x	+2
	-3x²	+3x
	0	-2x	+2
	0	2x	-2
		0	0

3) q(x)=5x²+3x-2
q(-1)=5.(-1)²+3.(-1)-2=5-3-2=0
اذن-1 جذر للحدودية q(x) وبالتالي تقبل القسمة على x+1
اي توجد حدودية من الدرجة الاولى
بحيث q(x)=(x+1)(ax+b)

5x²	+3x	-2	x	+1
-5x²	-5x		5x	-2
+0	-2x	-2
	+2x	+2
	0	+0

اذن q(x)=(x+1)(5x-2)
وبما ان p(x)=(x-1)q(x) فان
p(x)=(x-1)(x+1)(5x-2).

4) نحل في IR المتراجحة p(x)≥0
اولا نحل المعادلة p(x)=0
p(x)=0 يعني (x-1)(x+1)(5x-2)=0 اي x=1 او x=-1 او x=0,4

ثانيا ندرس اشارة p(x)

x	-∞		-1		0,4		1		+∞
x+1		-	0	+	|	+	|	+
x-0,4		-	|	-	0	+	|	+
x-1		-	|	-	|	-	0	+
p(x)		-	0	+	0	-	0	+

اذن مجموعة حلول المتراجحة S=[-1;0,4]∪[1;+∞[.