Exercice 1 tp

Soit p(x)=5x³-2x²-5x+2 un polynôme.
1) Montrer que p(x) est divisible par x-1.
2) Déterminer b et c sachant que
p(x)=(x-1)(5x²+bx+c).
3) Vérifier que -1 est une racine de q(x)=5x²+3x-2 puis déduire une factorisation de p(x).
4) Résoudre l'inéquation p(x)≥0 dans IR.

Correction

1) p(x) est divisible par x-1 si 1 est sa racine.
On calcule donc p(1).
p(1)= 5.1³-2.1²-5.1+2=5-2-5+2=0
donc 1 est une racine de p(x) ainsi p(x) est divisible par x-1.
2) Puisque p(x) est divisible par x-1 alors il existe un polynôme q(x) de degré 3-1=2
tel que p(x)=(x-1)(5x²+bx+c).

p(x)=5x³+bx²+cx-5x²-bx-c
=5x³+(b-5)x²+(c-b)x-c.
On sait que p(x)=5x³-2x²-5x+2
donc b-5=-2 ; c-b=-5 et -c=2
b=3 ; c=-5+3=-2 et -c=2 est vérifié
ainsi p(x)=(x-1)(5x²+3x-2).

Méthode 2: On peut réaliser la division euclidienne de p(x) par x-1.

q(x)=5x²+3x-2
q(-1)=5.(-1)²+3.(-1)-2=5-3-2=0
donc -1 est une racine de q(x) ainsi il divisible par x+1 ou encore il existe un polynôme de degré 1
tel que q(x)=(x+1)(ax+b).

Donc q(x)=(x+1)(5x-2) et puisque p(x)=(x-1)q(x)
alors p(x)=(x-1)(x+1)(5x-2).
4) On résout l'inéquation p(x)≥0.
D'abord on résout l'équation p(x)=0.
p(x)=0 signifie que (x-1)(x+1)(5x-2)=0 signifie (x=1 ou x=-1 ou x=0,4).
Puis on étudie le signe de p(x).

donc l'ensemble des solutions de l'inéquation
S=[-1;0,4]∪[1;+∞[.