1.1.3 Norme d'un vecteur

Soit u^→ un vecteur tel que u^→=AB^→.
La distance AB est appelée norme du vecteur u^→ et est noté ||u^→||.
et de plus ||u^→||=AB=√(u^→.u^→).

Notons que la norme d'un vecteur est un nombre positif.

1.2 Expression trigonométrique

1.2.1 Propriété

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs.
u^→.v^→=||u^→||×||v^→||cos(u^→;u^→).

Exercice 1 tp

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs.
Si ||u^→||=√3 ;||v^→||=4 et u^→.v^→=2√3.
Déterminer une mesure de l'angle (u^→;v^→).

Exercice 2 tp

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs.
Si ||u^→||=3 , ||v^→||=4

Calculer u^→.v^→.

1.2.2 Orthogonalité de deux vecteurs

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs.
u^→⊥v^→ équivaut à

alors
u^→⊥v^→ équivaut à u^→.v^→=0.

Propriété
Deux vecteurs u^→ et v^→ sont orthogonaux si et seulement si u^→.v^→=0.

Notons que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan
O^→.u^→=0.

1.4- Opérations sur le produit scalaire

1.4.1 Propriété et définition

Soient u^→ ; v^→ et w^→ trois vecteurs et t un réel non nul.
1) La symétrie ou commutativité
u^→.v^→ = v^→.u^→.

2) Bilinéarité

1.4.2 Résultats

1) (u^→+v^→)²=u²^→+v²^→+2u^→.v^→.
2) (u^→-v^→)²=u²^→+v²^→-2u^→.v^→.
3) (u^→-v^→).(u^→+v^→)=u²^→-v²^→.
4) ||u^→+v^→||²+||u^→-v^→||² = 4 u^→.v^→.
5) (AB^→ - AC^→)²=AB²- 2AB.AC +AC²
donc