2- Applications du produit scalaire

2.1 Relations métriques

2.1.1 Propriétés

Soient ABC un triangle rectangle en A et H le projeté orthogonal de A sur (BC).

1) Relation de Pythagore
AB²+AC²=BC².
2) Relations des cotés
CA²=CH×CB et BA²=BH×BC.

3) Relation de la hauteur
AH²=HB×HC.

Démonstration
1) Relation de Pythagore
BC²=(AC^→-AB^→)² =AB²-2AB^→.AC^→+AC²
(AB)⊥(AC) donc AB²+AC²=BC².
2) Relations des cotés
on a BA²=BA^→.BC^→
puisque H est le projeté orthogonal de A sur (BC) alors
BC^→.BA^→=BH×BC.
ainsi BA²=BH×BC.

De la même manière on obtient
CA²=CA^→.CB^→=CH×CB.
3) Relation de la hauteur
HB^→.HC^→ =(AB^→-AH^→).(AC^→-AH^→)
=0-AH²-AH²-0+AH²=-AH²=-HB×HC.

Exercice 1 tp

Soient BAC un triangle rectangle en B et H le projeté orthogonal de B sur (AC).
On considère que BA=4 et AC=8
1) Calculer AH ; HC ; BH ; BC ; Â et Ĉ.
2) Calculer la surface du triangle BAC.