Le produit scalaire (5)
2.2 Théorème de la médiane
2.2.1 Théorème
Soient ABC un triangle et I le milieu du segment [BC].
| AB²+AC² = 2AI² + | 1 | BC² |
| 2 |
Démonstration
AB²+AC²=
AI² +IB² + 2AI→.IB→ +AI²+IC² +2AI→.IC→.
= 2AI→² +2BI→² +2AI→.(IB→+IC→).
I est le milieu de [BC]
donc IB→+IC→ = O→
et donc AB²+AC²=2AI²+2BI².
On a BC=2BI alors
| AB²+AC² = 2AI² + | 1 | BC² |
| 2 |
2.3 Théorème d'Al Kashi
2.3.1 Théorème
Soit ABC un triangle.
BC²=AB²+AC²-2AB×ACcosÂ.
Démonstration
On applique la relation de chasles
BC²=(AC→-AB→)²
=AB²+AC² -2AB→.AC→.
Puisque AB→.AC→=AB×ACcosÂ
alors BC² = AB²+AC²-2AB×ACcosÂ.
2.3.2 Résultats
Soit ABC un triangle
| cos | = | AB²+AC²-BC² |
| 2AB×AC | ||
| cosB | = | BA²+BC²-AC² |
| 2BA×BC | ||
| cosĈ | = | CA²+CB²-AB² |
| 2CA×CB |