الجداء السلمي في المستوى (5)
2.2 مبرهنة المتوسط
2.2.1 مبرهنة
ليكن ABC مثلثا و I منتصف القطعة [BC].
| AB²+AC² = 2AI² + | 1 | BC² |
| 2 |
برهان
AB²+AC²=
AI² +IB² + 2AI→.IB→ +AI²+IC² +2AI→.IC→
= 2AI→² +2BI→² +2AI→.(IB→+IC→)
I منتصف [BC]
اذن
IB→+IC→ = O→.
ومنه فان
AB²+AC²=2AI²+2BI².
لدينا BC=2BI اذن
| AB²+AC² = 2AI² + | 1 | BC² |
| 2 |
2.3 مبرهنة الكاشي
2.3.1 مبرهنة
ليكن ABC مثلثا.
BC²=AB²+AC²-2AB×ACcosÂ.
برهان
حسب علاقة شال
BC²=(AC→-AB→)²
=AB²+AC² -2AB→.AC→.
بما أن AB→.AC→=AB×ACcosÂ
فان BC²=AB²+AC²-2AB×ACcosÂ.
2.3.2 نتائج
ليكن ABC مثلثا.
| cos | = | AB²+AC²-BC² |
| 2AB×AC | ||
| cosB | = | BA²+BC²-AC² |
| 2BA×BC | ||
| cosĈ | = | CA²+CB²-AB² |
| 2CA×CB |