1.5 Egalité et condition de colinéarité de deux vecteurs

1.5.1 Egalité de deux vecteurs

Propriété
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même abscisse et même ordonnée.

Exemple
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ quatre points A(1;-1); B(3;4); C(5;2) et D(3;-3).
1) Montrer que AB^→=DC^→.
2) Déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Correction
1) On a AB^→(2;5) et DC^→(2;5)
donc AB^→=DC^→.

2) Puisque AB^→=DC^→ alors ABCD est un parallélogramme.

Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ quatre points E(4;1); F(7;3), G(2;-1) et H(-1;-3).
1) Déterminer EF^→ et HG^→.
2) Que peut on dire du quadrilatère EFGH ?

1.5.2 Colinéarité de deux vecteurs

Définition
Deux vecteurs sont colinéares s'ils ont la même direction.

Propriété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
u^→(a;b) et v^→(a';b') sont deux vecteurs colinéares signifie qu'il existe un réel non nul k tel que v^→=ku^→.

En d'autre terme
u^→(a;b) et v^→(a';b') sont colinéares signifie a'=ka et b'=kb tel que k∈IR.

Signifie

Exemple 1
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). Soient u^→(2;1) et v^→(4;5) deux vecteurs
Est ce que u^→ et v^→ sont colinéaires ?

S'ils sont colinéaires alors il existe un réel k tel que v^→=ku^→ ou encore 4=2k et 5=k.
Donc k=2 et k=5 et ce n'est pas possible
et donc k n'existe pas ainsi u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires.

Exemple 2
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). Soient u^→(-5;4) et v^→(10;-8) deux vecteurs.
Est ce que u^→ et v^→ sont colinéaires ?

S'ils sont colinéaires alors il existe un réel k tel que v^→=ku^→.
signifie 10=-5k et -8=4k
signifie k=-2 et k=-2
donc k=-2 existe et v^→=-2u^→
ainsi u^→ et v^→ sont colinéaires.