Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
Déterminer le nombre x tels que u^→(1-2x;-2) et v^→(5x;4) sont deux vecteurs colinéaires.

Correction

u^→ et v^→ sont colinéaires signifie

Signifie (1-2x).(4)=5x.(-2)
signifie 4-8x=-10x
signifie 2x+4=0 signifie x=-2
donc x=-2 ainsi u^→(-10;4) et v^→(5;-2).

Définition
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère deux vecteurs u^→(a;b) et v^→(a';b').
Le nombre ab'-ba' est appelé déterminant de u^→ et v^→
et est noté det(u^→;v^→)=ab'-ba'.

Pour se souvenir de l'expression on écrit

Propriété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). u^→(a;b) et v^→(a';b') sont colinéares signifie ab'-ba'=0.

Exemple
Soient u^→(10;8) et v^→(5;4) deux vecteurs.

donc u^→ et v^→ sont colinéaires.

Remarque
On peut faire autrement
10=2×5 et 8=2×4 donc il existe k=2 tel que u^→=2v^→ et cela signifie que u^→ et v^→ sont colinéaires.

Propriété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). A ; B et C sont trois points alignés dans ℙ signifie AB^→ et AC^→ sont colinéaires
signifie det(AB^→ ; AC^→)=0.

Exemple
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ trois points A(1;-2) ; B(3;-9) et C(-3;12).
Vérifier que A ; B et C sont alignés.

Correction
On a AB(2;-7) et AC(-4;14)

donc AB^→ et AC^→ sont colinéaires et donc A; B et C sont alignés.