Exercice 1 tp

Soient A et B deux points. Soient A et B deux points. On considère une Transformation T reliant un point M du plan au point M' tel que
AM'^→=3AM^→-2AB^→.
1) Déteminer un point H tel que T(H)= H.
2) Montrer que T est une homothétie dont il fait déterminé le centre et le rapport.

Correction

1) Soit M un point
T(M)=M' signifie AM'^→ =3AM^→-2AB^→.
donc T(H)=H signifie H'=H
signifie AH^→=3AH^→-2AB^→
signifie AH^→-3AH^→=-2AB^→
signifie -2AH^→=-2AB^→ signifie AH^→=AB^→
signifie H=B
ainsi la transformation admet un seul point invariant c'est le point B.

2) En utilisant la relation de chasles on obtient
AB^→+BM'^→=3(AB^→+BM^→-2AB^→.
ou encore
AB^→+BM'^→=3AB^→+3BM^→-2AB^→
ou encore AB^→+BM'^→=AB^→+3BM^→
ou encore BM'^→=3BM^→
et cela signifie que M' est l'image de M par l'homothétie de centre B et de rapport k=3
ainsi T est une homothétie de centre B et de rapport k=3.

Exercice 2 tp

Soit ABCD un parallélogramme.On considère un point E tel que AB^→=3AE^→ et une homothétie h qui transforme E en C et A en D.
1) Déterminer le centre W et le rapport k de l'homothétie h.
2) Soit K l'image du point B par h.
(a) Montrer que D , C et K sont alignés.
(b) Ecrire DK en fonction de DC.